DES COORDONNÉES POI.AIRUS
Equations polaires des trois courbes dit second degré.
282. Pour élablir les équations polaires des trois courLes du second degré, il est d'usage de prendre un fojer pour pâte et le premier a^c pour droite fixe.
Considérons successivement chacune des trois courbes, et, au lieu d'appliquer les formules (278) de la transformation des coordonnées, servonsnous des expressions trouvées pour les rayons vecteurs, d'après la défini lian des courbes.
Ellipse. — Soitprispour;îdfcle/(jje/-F [fi^. iSi); on a obtenu (■12(5), pour l'expression du rayon vecteur FiM,
is la figure donne
X ou OP =
Discussion. — Soit d'abord <p — o, auquel cas le rayon vectijur se confond avec le premier axe ; il en résulte
cos'j = i, d'où p = ^'~''- = A-c =FC;
on obtient ainsi B pour l'un des points de la courbe.
A mesure que f augmente, cosfp et, par suite, k -h c coso diminuent, en sorte que lé rayon vecteur devient de phis im plus gimid.
Soit
ij) = 1)0° ; d'où C03 tf II-- o i
le rayon vecteur se réduit à
on retrouve ainsi Xordonnée PN passant par le fojer {voyez le n° 146),
L'angle ç continuant d'augmenter et devenant obtus, cosç cliange de signe et augmente «umémquekbnt; donc le dénominateur diminue encore, et la valeur de p continue elle-même ^augmenter. Supposons 9 égal à l'angle CFX dont la tangente trigcnométrique a pour
EQUATIONS POLMRES DES TROIS COURBES DU 2"
il en résulte
à'oix, en substituant dans la valeur de p,
c'est, en effet, la valeur du rayon vecteur FC (13!). (f =-- 180°; d'où cosf =- — Il , = ^' = A + . = Fi.,
c'est le rayon vecteur correspondant au sonwict A.
Remarquons mainf«nant que, si l'on change ip en — y, cos^ ne change pas, et qu'ainsi l'on retrouve pour les angles cFX, /jFX, mFX, DFX,..,, situés aurdessoas du premier axe, les mêmes rayons vecteurs.
D'où l'on voit que toia les points de la courbe sont représentés par Véquntion polaire qui a été établie.
283. Hyperbole. —Ed fixant lo/jâ/e au /ojer F {fig. iS?), on a, d'après la valeur trouvée (133) pour FM,
FM ou p = ^ — A.
' A D'un autre côté,
X ou OP = OF — FP = f — pcosMFP;
et si l'on convient, comme en Tiigonométrie, de compter Ids angles à partir du sens /wjiï// de la dnite fixe OX, ce qui donne
cosMFP = — cosï, il vient
^ = rH-pcosT.
Substituant cette valeur dans celle de p, on obtient d'où l'on tire
Ap. de l'Ai, à la G.
■i-lll DKS COOHDONNÉEs POLAIHÏS.
Discussion. — Pour mieux faire comprendre les détails de cette discussion, nous partirons de l'hypothèse ^ = go degrés; puis nous ferons clécrottre et augmenter successivement l'angle q;.
Pour f ^ 90 degrÉs, on 3
d'où
A-tcosç = A;
c'est (146) Xordonnée qui passe par le/ojcrF,
L'angle ^i rfiminKcmï à partir de go degrés, cosf est positif et augmente sans cesse; et, par suite, la quantité A — ccosç diminue jusqu'à co qu'elle devienne nulle, aûque! cas on a
résultat qui a besoin d'être interprété. Or de la relation
A — c cos^ =
Ce qui prouve que, si l'on mène par le pôli: une parallèle GFG' à l'asymptote LL', cette droite représente la direction que doit prendre, dans l'hypothèse actuelle, le rayon vecteur qui, d'ailleurs, est infini, comme on vient de le voir.
Laissant, pour le moment, de côté les valeurs do ^, inférieures 'a l'angle GFX, faisons croître <^ à partir de 90 degrés.
Alors cosy devenant négatif si augmentant de plus en plus nuhériguEMEiST, A — ccoSî augmente également, et, par suite, p diminue, jusqu'à ce que l'on suppose
ç = iSo", d'où cos^ = — I ; ce qui donne
D'où nous pouvons conclure que tous les poiuis de la brandie supérieure BMM"M'". . ■ sont représentés par l'équation polaire qui a été établie cidessus, savoir : la portion BMN, au moyen des valeurs de <f, depuis 180 de-
