ÉQUATIONS POLAIRES EES TROIS COURBES DU 2" DEGRÉ
gréa jusqu'à 90 degrés, et la portion NM'".. . , au moyen des valeurs de f^ depuis 90 degrés jusqu'à l'angle GFX, correspondant à tangy = t"
Comme, d'ailleurs, en changeant ? en — ^, on retrouverait, ainsi que cela a eu lien pour \elUpse, les mêmes valeurs de p, la brEuiclie iiiférieiire SU'm"'iti'.. . est également représentée par l'équation dont il s'agit.
Il suffirait, pour une valeur positive donnée à f, M"FX, par exemple de décrire du point F comme centre, et d'uii rayon égal à la valeur correspondante de p, un arc de cercle ^fD/ii"', puis de prendre Dm'" = DM°.
Considérons maintenant les valeurs de f inférieures à l'angle aigu GFX.
L'angle y continuant de diminuer, cosf reste encore positif et nugmf«(e sans cesse; par suit*. A — coosf, qui était na/ pour -y = GFX,. devient négatif et va en augmentant numériquement; donc p, qui est lui-même négatif, va sans cesse en diminuant, jusqu'à ce que l'on sup-
co qui donne
0 = 0, d'où cosij c'- A= ,
en valeur résolue, représente FA, et correspond au sommet A.
Ainsi, la partie supérieure de la branche de gauche de l'hyperbole est déterminée par des rayons vecteurs, tels que PHi", mais en rayons néga-
If,.
La partie supérieure de cette même branche se déduit de la partie /«féiieure, d'après l'observation déjà faite, que le oliangement de ? on (— ç) n'altère pas l'expression de oosf.
284. Première remarque. — L'ellipse est représentée complètement en rayons positifs par son équation polaire, tandis que, pour I'hyper- BOLB, la branche de droite correspond à des rayons positifs, et la branche de gauclie à des rayons négatifs.
Cela peut s'expliquer nnalytiquement de la manière suivante.
Dans I'eixipse, lo rayon vecteur partant du point F \fig. iSi) a pour générale
valeur qui reste toujours positive, que! que soit le signe de x Dans l'hyperbole {fig. i3ï), au contraire, l'expression
iHS COORDONNf
qui est positive powr tous les points de ia branche de droite, devient »e^rtlive pour la branche de gauèhe, puisqu'alors x est négatif. Si l'on voulait ohtenir cette seconde branche en rayons positifs, il faudrait d'abord changer ^ en — .r, ce qui donnerait
comme on a, d'après la ligure, povir le point m\ sur lo partie i'/fé- •e de cette branche,
Pour la partie Mipéi-iciire, l'expression du rayon vecteur resterait la mCme, puisque
285. Deuxième rcmar'jnR. — Le changement de signe pour les rayons vecteurs de l'hyperbole est analogue à celui qui a lieu pour les sécantes tri gon ométriques .
On sait, en effet, que pour une sécante positive, l'extrémité de l'arc se trouve placée entre le centre et l'extrémité de la hgne, c'est-à-dire sur la sécante elle-même, tandis que, pour une sécante négative, l'extrâmité de l'arc tombe sur \& prolongement de la ligne et ea sens contraire de celui où Von compte cette sécante.
De même, pour les rayons vecteurs positifs, le point correspondant de la courbe se trouve placé sur la direction même du rayon; tandis que, pour les rayons négatifs, le point de la courbe est situé sur !e prolongement de ce rayon et en sens contraire de sa direction.
280. Parabole. — lapôle étant en F [fig. i33), le rayon vecteur FM a [142) pour expression
AP ■- .VF PF =.- ^ - r-
yGoosle
ÉQUAT, POI.ÀIEE C0>1M. ALS TROIS COURUES BU Z' DEGRlî. 2^';
u bien, à cause ds cosMFP ~ — cosif,
qui donne
Discussion. — Pour (f — 180 degrés,
parsnite
p = 2 = FA.
mimet A se trouve ainsi déterminé
Le snmmet A se trouve ainsi itéterminé.
A mesure que l'angle ij diminue, depuis 180 jusqu'à 90 degrés, cosf no cesseras d'être négatif, et va toujours en diminuant numériquement; I — oostpva doncsans cesse en dimimiant et p«((^mcn/e continuellement.
Quand on suppose ? = 90 degrés, d'où cosrf = o, la valeur de p devient
c'est (li3) l'ordonnée qui passe par le foyer.
L'angle y continuant de diminuer à partir de 90 degrés, cos^ est positif v,i augmente sans cesse; donc 1 — cos? diminue, et, par conséquent, p augmente de plus en plus, jusqu'à ce qu'enfin on arrive à ^ = o, auquel cas il vient
D'où l'on voit que pour ixiutes les valeurs de <p, depuis 1 80 degrés jusqu'à o, le rayon vecteur augmente continuellement de — à Yinfini.
Même conséquence d'ailleurs que pour I'elupse el l'iiYPEnDoLB, en ce qui concerne les valeurs négatioes attribuées à l'angle f.
Ainsi, la parabole est, comme Vellipse, représentée complètement en rajvm positifs par son équation polaire.
287. Équation polaire commune aox trois courbes du second degré. — On peut comprendre dans une seule formule polaire les trois courbes du second degré. Mais, pour cela, il est nécessaire de modifier l'équation polaire de I'bllipse, en prenant pour pôle le point F au lieu du point F, afin de donner à ce pûîe une position analogue à celle qu'il occupe dans les deux autres courbes.
