DU SECOND DEGRÉ

m, remplaçant j par sa valeur tirée de l'équalion (i),

Cette expression, présentant deux radicaux qui se recouvrent, restera nécessairement, d'après les principes de î'Algètire, irrationnelle tant que le petit radical subsistera sous le grand ; il faut, par conséquent, que l'on

Mais cette condition doit, suivant l'énoncé, être satisfaite pour toute valeur de la variable x ; elle se réduit donc, pour la question qui nous occupe, à la relation

d'où l'on voit déjà que, s'il existe sur le plan de la courbe des points dont la distance à un quelconque de ses points soit i-iiUoniiellc en x, ils doivent être placés sur l'axe des x.

Dès lors l'expression ci-dessus se réduit à

h -ipx

Or, il résulte encore des principes de l'analyse algébrique, que la quantité soumise à ce nouveau radical ne peut être un carré qu'autant que l'on a

^[x'-p)^ = ^[^ + q)x^^ OU [x'.^pY = [,-^<i)x'\

OU bien, en effectuant les calculs et réduisant, (3) qx'''^%i,x'—i>^ = o.

Discutons maintenant cette équation de condition en considérant successivement chacune des trois courbes, et en commenc^ni par le cas leplus simple, celui de la parabole.

On a, danscecas{158),

y = o; et l'équation (3) so réduit à

ipx' — p'' ^ a; d'où rJ---'-

La valeur de D devient d'ailleurs

aSa OLESTIOKS se rappoktakt

D'où il suit que, pour la paraboio, il n'existe qu'ii/i seid point susceptible do satisfaire à l'énoncé de la question ; et ce point n'est autre que le/ojt?-, tel qu'il a été défini au n" 141.

Ellipse. - On a (liG)

ce qui donne, pour '.

'équation (3),

ou, simplifiant,

donc

Ainsi, pour l'ellîpsc, il esiste^e«.E points satisfaisant à l'énoncé; et ces points ne sont autres que les foyers, tels qu'ils ont été définis an n° 124. Si l'on porte la première valeur de x' dans l'expression (a) en même temps que celles de p et de q, on trouve, en désignant par D' la distance qui se rapporte au foyer de droite,

ou, remplaçants' par A'— c',

La quantité soumise au radical est évidemment le cari-é do ^ ^ (A + c), ou de A + t — -r-j el afin de savoir laquelle des deux racines il convient

de prendre, pour obtenir, comme cela doit être, une valeur positive de D', il suffit de remarquer que, pour une valeur de ^ moindre que i\,

-T~ — (A -+- ( ) serait négatif.

C'est donc A -h c — -- qu'il faut prendre ; et l'on a

Quant à la seconde valeur x' = A— r, reportée dans l'expression {■!), elle donne