AUX COURBES DU SECOND DEGUÉ

peut convenir qu'à ces points; d'où il suit <|ii'elle repréaedie leur Ueti piométrtqus.

Comme cette équation ( 3) est du pivmiei- degré en «, h, on peut déjà îonclure que

Tous les diamètres des courbes du second degré sont des lignes droites.

De phs, cette équation est évidemment satisfaite lorsque l'on y fait en même temps

2A6 + Brt-i-D = o, aCrt-i- BÈ + E = o.

Or ces deux nouvelles relations sont précisément (-163) celles qui survent à déterminer le centre de la courba. Donc tous les diamètres passent par le centre. Tant que l'on a

B'- ,'iAC< ou >o,

les deux valeurs de a, b sont réelles alfinii^s; elles deviennent injîmes

B'-4AC=o;

ce qui revient à dire que dans la paiiabole tous les diamàtres sont parid-

290, TfiOiaiÈME QOESTIOS. — Une droite étant menée à volonté dans le plan d'une courbe du second degré, si, de chacun de ses points, on mène deux tangentes à la courbe, et que l'on joigne les deux points de contact correspondants, toiaes ces lignes de Jonction jouissent de la propriété de CONCOUBIB EN UN HËME POINT. — Fixer la position de ce point de

[Cette propriété n'est autre que celle qui a été déjà établie pour cliacune des trois courbes [2i2, Wi. et 276).]

Concevons que l'on ait mené d'abord parallèlement S la droite donnée une tangente à la courbe, puis le diamètre passant par le point de contact; et prenons pour système d'axes ce diamètre et cette tangente, en choisissant le diamètre comme axe des x.

L'équation de k courbe rapportée à ce système est noce ssai remont de la forme (,) x''=^nx + mx\

m ot n ayant des acceptions déterminées pour chacune des trois courbes.

Cela posé, le coefficient d'inclinaison dans l'équation d'uue tangente

menée par un point quelconque (x' , y'] do la courbe, ayant (120) pour

a, pour l'équaiioD de cette tangente,

ou, simplifiant,

Maintenant, supposons qu'on veuille mener une tangente par un point (a, ê) pris hors de la courbe ei'sur la droite donnée. On est conduit, en raisonnant comme au n" J93, aux deux relations

qui peuvent servir à déterminer x' ot j'.

Mais il est plus simple (194) de substituer à l'élimination la construction de ces deux équations, dont la dernière représente la courbe donnée.

Pour construire la première, qui est celle de ia droite passant par len lieux points de contact, il faut faire, dans cette équation, siicce^iven:ient

Lo premier de ces deux résuUats, x' -- — — — i étant indépendant do

l'ordonnée 6 du point pris à volonté sur !a droite donnée, on est en droit de conclure que, quel que soit le point de cette droite par lequel on mène les doux tangentes à la courbe, l'abscisse du point od la ligne de contact rencontre l'axe des x est constante ot a pour expression

Donc, toutes les lignes de contact se rencontrent en un même point, qui est situé sur te diamètre pris pour axe des x.

291. Remahqub. — Tant qu'il s'dgit d'une ellipso, le système d'axes qui a servi pour la démonstration de la proposition peut toujours être employé. Il n'en n'est pas de même pour les deux autres courbes.

Ainsi, pour la parabole, si la droite donnée est un diamètre, on no peut prendre pour système d'axes un diamètre et une tangenle parallèle

AL'X COISnBES DU SECOND DEGRÉ. 287

à cette droite, puisque dans cette courbe tous ks diamètres sont parallèles.

Mais rien n'empèclie alors de choisir ta droite donnée pour axe des .c, en prenant comme ase des y la tangente au point où elle rencontre la courbe; on a ainsi un système d'axes tout S fait analogue au précédent.

Seulement lé point de concouis est, dans ce cas particuler (276 ), situé à Vinfini, c'est-à-dire que toutes les lignes de jonction des points de contact sont parallèles à la tangente.

A l'égard de I'hyperbolb, i\ y a lieu de distinguer deux cas ;

OO la droite donnée forme avec le premier axe, du côté des x: positif:^, soit un angle aigu plus grand que celui dont la tangente trigonométrique a pour expres-sion + -j , soit un angle obtus molndt-e que celui dont cette tangente est ~ j] et alors, comme il est possible (230) de mener une

tangente parallèle à la droite donnée, on peut avoir recours au système d'axes indiqué.

Od bien l'angle que la droite donnée forme avec le premier axe est, suivant qu'il est aigu ou obtus, moindre ou plus grand que ceux qui ont respectivement pour tangentes trigonométriques

et alors la construetion précédente est impossible.

Dansée cas, c'est le diamètre parallèle à la droite rfonn^e que l'on choisit pour axe des x, en prenant comme axe des / la tangente passant par le point de rencontre du diamètre avecla branche de f^/o/Vc do la courbe.

L'équation n'en est pas moins de la forme

et Ton reconnaît que le point de Ule à la droite donnée,

292. Quatrième oubstion, — Une portion de courbe du second degré étant tracée sur un plan : — i° déterminer sa nature; — a° achever cette courbe et en déterminer les aa:es ainsi que les éléments principaux, tels que les sommets, les foyers, etc.

Pbbmibrehent. — Tracez successivement deux systèmes de deux cordes parallèles, etj'oignez les points milieux: de chaque système par une droite ; vous obtenez ainà (177) deux diamètres de la courbe.

11 peut alors se présenter tbois cas :

aSO QUESTIONS SE RAPrORTANl

Ou les (leuK droites de jonction sont parallèles; auquel cas la courba est nécessairement une porabole.

Ou les deux droites se rencontrent en dedans de la courbe, qui est alors une ellipse.

Oo BiBM enfin, ces droites se Fencontrent du côt^ de la convexité de la courbe qui, dans ce cas, ne saurait être qu'une hyperbole.

Secondement. — Traitons séparément chacun des trois cas :

Supposons, en premier lieu, que la courbe tracée MAB/x [fig. i34), soit une portion de parabole.

Soient AX un des diamètres construits et Mï« une des cordes que ce diamètre divise en deux parties égales au point P.

Ap()elons a/j' le paramètre à ce diamètre pris pour axe des x, la tangente au point A étant l'axe des j.

On a î'équation

ouj remplaçant y et x par les valeurs partictdiércs MP et AP que donne ]!>fgure,