AP

D'où l'on voit que le paramètre ip' au système actuel d'axes conjugués est une troisième proportionne/k- aux lignes connues AP et PM, et doit être lui-même regardé comme déterminé.

Cela posé, élevons an point A, sur la droite AX, une perpendioulaire AY' ; puis concevons que l'on ait construit sur le système d'axes AX, AY' une parabole ayant pour son paramètre puncipat ip et que Ion ait ainsi obtenu la courbe NAN'.

Maintenant, d'un point quelconque N de cette courbe abaissons la double ordonnée NP'N', perpendiculaire sur A\ puis contormément a ce qui a été fait au n" 274, inclinons cett* double ordonnée de manière qu'elle Boit parallèle k AY, et prenons sur cette nouvelle ligne deux parties P'M', Vni', égales à P'N, P'N'; les points M et d^ appartiendront à la courbe dont une partie seulement était déjà construite

On voit ainsi qu'au moyen de la courbe au3.dt are, il est possible d ob tenir autant de points que L'on voudra de la courbe principale.

H reste encore à déterminer \' axe principal et le paramètre à cet axe.

Or, si du point M' on abaisse une perpendiculaire sur AX, et que, par le milieu de la corde M'D, on mène la droite BIL parallèlement au diamètre AX, on obtiendra ainsi \'axe principal.

AIJS COURIiRS ru SECOND DEGRÉ. sSç)

Quant au paniuwtre, il aura pour expression -^w-t ou une trvisicme

proportionnelle à l'abscisse Bl et à l'ordonnée M'I.

En second liew, considérons la portion d'ellipse MA'AN; et soit 0 {fg. i35) le centre déjà déterminé par la rencontre de deux diamètres, A'X représentant !a direction de l'un d'eus.

Prenons sur A'X une distance OB' égale à OA'; nous obtenons ainsi la longueur aA' d'un diamètre; et si nous menons au point A' la tangente A' Y', qui ^i parallèle'^ la corde MN divisée en deux parties égales par ce diamètre, nous aurons pour l'équation de la courbe rapportée au système d'axes A'X, A'Y'(w/e3le n" 144),

d'où l'on déduit

ou, remplaçant y et ^ par les coordonnées particulières MP et A'P, et A' par la longueur OA',

v/A'P(iOA'- A'P) homogène qu'il est facile de construire d'après les moyens

( On construit le radical en décrivant sur jV'B', comme diamètre, une

demi-circonférence, et élevant au point P la perpendiculaire PK; ce qui

OA' MP \ rJduit la valeur de B' à la quatrième pm/inrtion/œlle ■- ' j

Connaissant les denx diamètres, aA', iB', on peut avoir recours h la construction indiquée au n" 210 pour ohleaîrV ellipse c«(/e/iedont MA'AN n'est qu'une partie.

Cette ellipse une fois tracée, on peut en déterminer tous les éléments d'après les moyens exposés au n" 214.

En troisième lieu, si la courbe tracée est une portion A'hyperbole, on peut opérer comme pour l'ellipse, en rapportant, de même, la coiirbo à un système d'axes tel, que son équation soit (145) de la forme

d'où Von déduit des constructions analogues aux précédenlcc.

Los deux questions suivantes sa rapportent spécialement à Yeîlipse et à V/iyperbule.

Jp. de VAl. à la G. If)

jgo QnESTioixs se happortakt

293. CïNOUiÉME QUESTION. — Coimaissant lus loi/gueiii:f ik', 2B' de deax diaméti'es conjugués d'aite ei.LIPSë ou d'une HYPERBOLE, et l'angle 0 ■ju'its font entre eux, trouver les longueurs des axes 2A, aB.

Traitons la question pour I'ellipse.

On a obtenu (206) les relations

(a) ÂB-A'B'sinS.

Si, d'abord, on ajoute, membre à membre, l'équatioa [i) et l'équation (a) préalablement double, et si, ensuite, on retranche de la première la seconde ainsi préparée, il vient

(A-f-B)'= A'=-f-B"-i-2A'B'sir.S,

(A -Bl'--^ A'"-f-B"-2A'Bsine; d'où l'on déduit

A ■:- li = v/A" -i- IS" -+■ îA'B'sinS

A-C = v/A"-^r-aA'l!'sinÛ par suite,

A ^ ^V'A-''-^^ B"+ aA.'^'siii'J ■'■ ^V-'^'"-'- 11"

— ■iA'B'siii5,

B - f i/A" -1- B'= -H 2 A'B' sin 5 - - j/A'- -1- B-

-aA'ïï'sm&.

Ces valeurs sont toujours réelles ; car de la relation évidente (A'— B'j'> o, on tire

A''h-B'=>2A'B', et, à plus forte raison,

A''-i-B'=>aA'B'sin5.

Les quantité A + B, A — B, sont susceptibles d'une construction assez simple, d'où l'on peut ensuite déduire celle des axes aA, aB.

A cet efîet, remarquons d'abord que sin9 peut être remplaco soit, par cos{go"— 6), soit par — cos[9o°-i- S), ce qui donne

A + B = /A" -f- B" — a A'B'cos (90" -+- S ) , A - B = v'À'=^^"B''"-;^âÂ'B' 003(90"- ti).

Cela posé, soient tracées deux droites XS', YY' ijîg. !36), formant entre elles un angle X'OY' égal à l'angle donné 6, supposé aigu, et soient prises sur ces droites, à partir du point 0, les parties

OC = OD = A', OE = OF -. fl' ;

abaissons du point F sur XX', lu perpendiculaire FP, et sur celte pcrpen-