AUX COURBES BU SECOND DEGRÉ

dieul lire prolongée de part et d'autre, portons de V en L et de F en Gune longueur égale à OC ou A'; tirons la droii* indéfinie LOK, et la droite OG; puis, du point 0 comme centre, et avec le rayon OG, décrivons une circonférence qui rencontre LK aux points I et H.

Je dis que OL et 01 représenteront les valeurs de A + B et de A — B.

En effet, l'angle OFP, dans le triangle rectangle OPF, étant égal à 90°— S, son supplément OFL vaut

180° -(90°- 6) ou !)o''+e; d'où il suit que Ses deux triangles LOF, FOG donnent

OL ^ i/p-+- B"— aA'B'costgô^ + S) = A + B,

OGr^/Â"-t-B''-aA'B'coslç)o''-0) = A - B.

Par suite, on a

LI = OL -h 01 = OL H- OG = aA,

LU = OL - OH = OL — OG = aB.

On résoudrait la mûrae question pour l'iiYraiiBOLE au moyen des relations 12i0)

A^-B'=A"-B"; AB=^ A'B'sinl

294. Sixième qoesteon. — Réciproquement, étant donnés tes axes 2A, aB d'une ellipse ou d'une hyperbole, trouver deux diamètres coiiju' gaés i.k', 0,^' faisant entre eux an angle donné 0. Nous nous occuperons encore ici spécialement de I'ellipse, En conibinant, comme au nuracvo précédent, les deux relations

Pour que ces valeurs scient réelles, 11 faut que l'on ait

Afin d'interpréter géométriquement ce résultat, rcmarc|iions que de la

(^a QUESTIONS S

jndition â! égalité

cl, par suite,

Or, on a vu (18i, 183) que ces valeurs sont précisément celles qui correspondent au minimuin et au maximum des angles que peuvent faire deux diamètres conjugués d'une ellipse, selon que l'angle de ces diamètres est aigu ou nbius.

De plus, il résulte de ce qui a été dit mêmes numéros, que les dous angles limites sont représentés {fg. loo) par l'angle CBD et son supplément ACB.

C'est donc ainsi qu'il faut entendre la condition trouvée pour que les deux valeurs de A' et de B' soient réelles.

Quanta ces valeurs, si l'angle donné 6 est tel, que l'on ait

elles se réduisent à la valeur

A'=B'=-. ' i/^A'-t-Ii'],

qui, d'après la relation

est bien celle des deux deini-diamèti'es conjugués égaux [-Dnyez le n°203). Les deux diamètres étant déterminés en grandeur, pour en obtenir la direction, c'est-à-dire pour trouver l'angle k, que l'un d'eux forme avec le premier axe, il faut recourir à la relation (179)

i, à cause de

0= ï'-a, d'où «'= 5-l-H,

AHangïtang(9 + ï}-t-B'-=o I, développant tang(û-t- h),

A= lang'a - (A' - B') tangfl tanga + B= = o.

AUX COmiUliS DU SECOND DEGIIË.

Celte équalion résolue donne

mg=î

t-4A'll=.

iA' 2A'^' '

Cines soient réelles, il faut que tang'f

) soi

C supériciL

c'est-à-dire que l'angle 0, s'il est aigu, ne soit pas moindre que celui dont la tangente est j-r^-m' et s'il est oi(w, ne soit pas /'/(«g'mm/ que celui

dont la tangente est ^ — fr-, ■ résultat conforme à ce qui vient d'élie dit. Si la valeur donnée de l'angle 9 est telle, que l'on ait

tan8'a = --^^

les doux valeurs de langa deviennent

/ ±aAH\ B relation tanga tanga' — — -r-,

ou bien les tangentes des angles que forment avec le premier axe les diamètres 7K«ï7/;èto aux cordes supplémentaires BC, AC [fig. loo).

Si l'on voulait traiter la question pour rnvPEBBoiB, on se servirait des trois relations

A"-B'^^A'~B=; A'B'=^^; tanga tangK'=+ -■

29S. BEHAROtE. — Les deux dernières questions sont comprises dans la question générale que l'on peut se proposer de résoudre, pour I'ellipse et I'hïperbole, au moyen des relations obtenues entre les grandeurs et les directions des axes principaux et celles des diamètres conjugués,

1° Pour rËt.ui.sE,

A" + B' = A- + B', A' B' sin 0 ---■■ Alt, langa tang«' — — — 1 0 = a'— a;

:il)4 QUESTIONS SE iUPPORTAfir AUX COUUBKS DU 2" BMllt. 2^ Pour rjlïl'ERBOLE,

A" - B" -^ A= - B', A'B'giiiO^ AB, tanga lang«' = + — , 0 = a' — a,

Ces relations renfermant sept quantités, A, B, A', B', a, a', 0, an peut, étant données trois de ces sept quantités, demander de déterminer les quatre autres.

' DEGBÉ PAR LA SÉP.