CHAPITRE TIII

§ I. Discussion de l'éiiuation [jéfiérulu du second rjegré par la YHriobles, — § II. Applicatiou de cette méthode de discussion de dcjré supériouF, ot discussion de quelque» équations pol:

Noii>. nous propcorii \ ni t pil intnt dan', ce Lhapitre, de montrer comment par ia resolution des equat eus du second degré à deux vaiiaùles,ce^t k dire par h bÉPAPAno-j Dts variables on peut déterminer Ja nature h forme, et même la position pir rapport à des axes quelconques de la courbe représentée par ias équations

Nous appliquerons ensuite la même méthode à des Équations de degré Jiipeneui, susceptibles dètre résolues immédiatement par rapport à l'une des \arnbles et nous terminèrent pai la diwuBsion de quelques équation'! pdiitii

§ 1 — Dli!^,u•-il^o^ re leqiation oé^IiRAlc du ircoNo degré

FAn LA «EPADATION DE»

Dm. mil dci t.urli. lu iecoiid d gie m Inn genres. 296. L'équation générale

(dans laquelle on suppose A. différent de zéro), étant résolue par rapport à /, donne

-; i/(B' - iAC)x' + a(5"D - aAEV -I- D' - 4AI'

[)u, en posant pour plus do simplicité

__B ,__^ ■ B' - 4AG "~ ^a' aA' "'~ 4A' '

Bn - aAE D'-fiAF

yGoosle

sgG Discussion GÈNÉIlilE DE l'ÉQUATION DU 2' OT.Glifi

et l'on voit que chaque valeur de y peut être considérée comme so composant de deux parties, l'une rationnelle en x, Vauire généralement irrationnelte, précédée du signe + ou du signe — .

La partie rattoimette, ax + b, est évidemment l'ordonnfo j' d'une droite

qu'on peut d'aliord cnnstriiire et représenter par une ligne telle que CBL (*), rapportée, ainsi que la courbe, à un système d'axes quelconques, AX, AY (fig. 137).

Cette droite étant constmite, il est également clair que, pour obtenir les deux points de la courbe qui correspondent à une abscisse quelconque, ^ = AP û suffit de porter sur 1 ordonnée PN de la droite, et à partir du po nt N deux di^stances NM ^M en ■^ens contraire et égales à la valeur numéiique du radical Les point=i M et M amsi obtenu'* sont deux points de la Lf. urbe

Comme la mène cnnslruLtiOn peut se réiétei pour (oute valeur donnée à a: on neut déj i c jnclure que la droite CBL jomt de la propriété de passer par les mi/ieux d une série de coides de la courbe, pnrattètes à 1 axe des i donc cette droite est un des diameties de la courbe (m).

Maintenant il faut examiner soua (iielle condition la quantité

•,oum s la r d cal c t /> iiti e lu «e, it ce qui loit déterminer la real le ou limaginanté des ^aleuis de y correspondant à une certaine valeur de 3

Oi 1 Algèbre nous ipprend que dans tout tnnome du second degré en a II r gne que leçoit ce trinôme pour des Mieurs particulières de x dépend essentiellement de celui du terme en a=

^ous sommes ainsi conduits a examiner les diiTérentes circonstances

qui peuien'' '-e présenter suivant que m ou . ■ ■; coefficient de x",

ou seulement B' — qAC est negatf ou j n itif

Mais il est nécessaire aussi de traiter le cas ou cette quantité est nulle; et c'est par cette hypothèse que nous commeiiceions, comme donnant lieu n la plus simple.

C) l'oir la note ilu n" 154 an bas de la page j5S.

PAR LA SlÎPAniTION DES VARIABLES.

Première hypothèse : B' — 4AC — o.