L'équation ['/,) se réduit, dans cette liypothèsc, à

(4) Soit, d'abord, faii

on exprime par là que le radical est nul, et, par suit«, que, pour l'abscisse particulière

l'ordonnée delà courbe devient égale à l'ordonnée DE du diamètre; donc E eat un point où \à courL e rencontre son diamètre.

Maintenant il peut se présenter trois cas : la quantité « est positive, negati e ou / ul/e

1° Si « est joiitif, 1 inspection de l'équalion (4) prouve que toute

\aleur de a- t lie que AP, plus grande que — —^ rend positif la second fa leur de la quantité soumise au radical, et donne par conséquent pour^ des valeurs réelles D ailleurs ilhjpotliesc,

x = --^ correspond

d'où Ton peut conclure qu'à partir du point E, où la courbe est (98) tangente à la droite DEH, cette courbe s'étend indérmimont tant au-dessus qu'au-dessous de son diamètre, et dans le sens des x pruiiifs.

Si l'on donnait à ce dos valeurs plus petites que — ^i la quantité

soumise au radical deviendrait négalU'e, et le radical serait imuginaire . ce qui montre que la courbe ne peut avoir aucun point situé à la gauche de DEH.

Cette droite DEH peut donc être considérée comme une limite de la courbe, dans le sens des x négatifs.

agS BISCCSSIOM DE l'équation GfiNÉRAlE DU 2° DECnfi

i" Si n était négatif, on serait évidemment conduit à des conséquences tout à faire contraires; c'esl^-dire que, dans ce cas, la courbe ne pourrait avoir ancien point sittié à droite de DEH ; mais elle s'étendrait indéfiniment à la gawhe de cette même droite.

On voit ainsi que, dans l'un comme dans l'autre cas, la courbe est illimitée dans un seul sens.

3" Soit « = o; ce qui réduit l'équation [3) à

n y a lieu, dans ce cas, de faire des hypothèses sur la quantité /) ellemême, qui peut élre positive, nulle eu négative.

Si/) est positif, les deux valeurs de x ^onl constamment réelles pour toute valeur donnée h^; mais comme l'équation est alors du premier degré, elle représente un système de deux droites; et ces droites sont PARALLÈLES, puisque le coeificient de ce est le même dans les deux valeurs dej-.

Si p est nul, le radical disparaît, et l'équation représente une seule

Enfin, si p est négatif, le radical est imaginaire, et l'équation ne représente plus rien.

D'où l'on voit que le cas de » = o donne, comme variétés de la courbo que nous discutons, un système de deu^ droites parallèles, ou une seule droite, ou bien deux droites imaginaires.

Deuxième hypothèse : B'— 4AC<o.