L'équation (a) peut ôtre mise sous la forme

et si, pour obtenir le point où l'ordonnée de la courbe se réduit à celle

de son diamètre, c'est-à-dire le ixint de rencontre de ces deux lignes, on

pose

il vient

a: = ± — ^n' — pni.

Il peut alors se présenter trois cas ; les racines de l'équation (6) sont réelles et inégales, réelles et égales, OU bien iinoginabes .

PAR hk sÉPAUiXiON i)i:s vA!iiAiiLi;3, 299

Premier cas, ~ Désignons par x', ic" les racines qui sont, en général, de signes quelconques, mais que, pour leur construction, nous supposerons, par exemple, toutes deux posithes.

Soient AD = x' , AD'= ^°, et menons les droites DG, D'G', parallèles à AY [Jïg. i38) ; Ifô points E, E' seront les points d'intersection de la courbe avec son diamètre BL.

D'un autre côté, le trinôme x''-\ -^-^ '— pouvant, d'après les principes algébriques, être mis sous la forme [j: --x')(x — x'), réc|uatioB (5) devient

On sait, d'ailleurs, qu'on donnant à a^ des valeurs comprises entre x' et x*, on obtient pour la quantité sous le radical des résultais de signes conimireu à celui de m qui est ici supposé négatif; donc ces résultats sont pasiirfs, et les valeurs correspondantes de / sont réelles.

Au contraire, toute valeur de ^, non comprise entre œ' et j;", donnant des résultats Afimême signe que m, il ne peut correspondre à ces valeurs de x que des valeurs imaginaii-es pour /,

D'oii l'on esten droit de conclure que la coarb^ est entièreineni renfermée entre les parallèles DG, D'G", qui lui sont tnngenies, et qui la limitent tant dans le sens positif ({hb dans le sens négatif de l'axe des ^.

La variable x ne pouvant recevoir que des valeurs finies, dont la plus grande est AD' et !a plus petite AD, il résulte, de l'expression de y en .-e, que les valeurs de y correspondant à chaque valeur de x doivent être elles-mêmes des quantités /«iw.

Pour obtenir la plus petite et la pliis grande valeur de cette seconde variable, il suffirait de résoudre l'équation par rapport à j; ; ce qui donnerait un autre diamètre. En cherchant les points d'intersection de la courbe avec ce diamètre, et menant par ces points des parallèles à l'axe des x, on aurait les limites dans les deux sens des y positifs et négatifs. (Nous verrons plus loin qu'il existe deux linsites plus avantageuses que celles-ci.) La courbe est donc limitée dans tous les sens.

Deuxième CAS. — Si les racines de l'équation (6) sont réelles al égales, on a, entre les coefRcienis du trinôme du second degré, la relation

n' ^ pni = 0 (*) ; d'où /' = — i

3oo Piscussion de l'équation gékéhale du a" e

et l'on obtient alors la racine unique

Appelons j^' celte racine; Yôqiwtion (7) devient

Or, m étant, par hypothèse, négatif, les valeurs de y seront imaginaires tant que l'on donnera à x des valeurs autres que j'. Mais pour .r :^ j:' on trouve

^oii l'on peut conclure que, dans le cas qui nous occupa, la courbe se réduit à un point représenté par le système des deux équations

TikorsiÈJiE CAS. — Les racines étant supposées imaginaires, on doit avoir la relation

>i''—pm <o, d'où

n' < pm

{p est nécessairement «eg-i7(;/ comme '»); et, par suite, on a

i' désignant un nombre essentiellement po.sitif. Dès lors, l'équation (5) devient

(BD-2AE-)'-(D'~4AF)(li'-4AC) = 0, ou, efTiictuiiiit 1o3 culculs et aimpliliHiit,

AE'-t-CD' + FB'— BDE — iJACF = 0.

On éci'it quelquefois cotte expression sous ta forme suivante, plus facile à

AE' — BDE -(- CD' -h- F(B- -~ /lAC) = 0.

PAR LA SÉPARATION DES VARIABLES. 3oi

et cette espressioii de j- est toujours imaginaire, quelque valeur qu'on donne à j:.

Ainsi, dans ce cas, il n'y a pas de courbe; en d'autres termes, la courbe est iinnginaii'e.

Donc, à l'hypothèse gÉaéralo B' — 4AC < o correspond une courbe limitée dans toas les sens, ayant pour variétés un point et une courbe imaginaire.

N. B. ■— Le cercle ne peut se reconnaître comme -variiti: de cette courbe par la simple séparation des variables; il faut avoir recours aux caractères qui ont été établis au n" 161 .

Tivisiéme hjjiothèse ; D'- 4AC> o.

299. Dans cette hypothèse, comme dans la précédente, ii y a lieu de distinguer les trois cas qui se présentent, suivant que les racines du trinôme x'-\ a -h — sont réelles et inégales, nulles ou bien imaginaires. ■

Dans lepRËMiEBCAS, en construisant les deux racinesAD = ^',AD'=j", puis menant les droites indéSnies DG, D'G' parallèles à AY [Jîg. iSg), on obtient E, E' pour les points où la courbe rencontre son diamètre.

L'équation (2] devient alors, comme précédemment,

et il est facile de reconnaître :

1° Que touti) valeur de ic, comprise entre x' et x', rendant la quantité soumise au radical, de signe contraire à celui de m, qui est ici supposé l'asiiif, donne lieu à des valeurs imaginaires pour y, et qu'ainsi la courbe ne peut avoir aucun point situé entre les deux droites DG et D' G' ;

2° Qu'au contraire, pour une valeur quelconque de a-, inférieure ou supérieure aux deux racines, les valeurs de y correspondantes sont réelles, et, par suite, qu'à partir des points E, E' où la courbe est (98) tangenteaax droites DG, D'G' [puisqu'on faisant x= x' ou j^= x", on trouve j' = ax-h b±o), la courbe s'étend indéjînimeiit tant au-dessus qu'au-dessous de son diamètre, dans le sens positif, comme dans le sens négatif de l'axe des x.

Elle se compose donc de deux branches apposées, ayant pour limites de séparation les droites DG, D'G'.

Dans le second cas, celui où l'on a

3o2 iiisGUSSiON DE l'équation généhai.e du 2' degré

CB qui entraîne lii condition

l'équation ci-dessus se réduit à

équation du premier degré représentant un système de âciuc droits.': qui se coupent sur le diamètre, au point dont les coordonnées sont

puisque pour j: = x' le radical disparaît et que l' ordonnée correspondant:; de chacune de ces deux droites se réduit à celle du diamètre. Le TROISIÈME CAS donne lieu à une circonstance remarquable.

les racines du trinôme jt'h a- + i- étant imaginaires [Jîg. 140),

on doit avoir la relation

d'où

«' < pm

[p étant nécessairement positif comme "() ; et, par suite, on 3

L'équation (2) du n° 296 devient alors, comme dan

Mise sous celte forme, elle démontre :

1° Que le radical ne peut jamais être md, quelque \aleur que l'on donne à a'jcequi.revientàdirequela courbe ne rencontre pas saaAiamhli&^h;

a° Que pour toute valeur de x te radical est réel, et qu'il augmente indéBniraent jusqu'à Yinfini, tant dans le sens positif que dans ie sens négatif de l'ase des x;

3' Que, pour obtenir le minimum du radical, il faut poser

omme dans riiypnlluise B- — /, AC < 0 99).

AK' -I- CD- -1-- Ml^ — BDË - !, ACF = 0.

d'où Von déduit Les deus quantités

peuvent être facilement déterminées dans chaque esemple particulier.

Soit AC = ; et menons du point C une parallèle CF à l'axe AY,

puis prenons sur cette parallèle, à partir da diamètre, deux distances OH, OH' égales à Kl — ~~' '^ points H, H' seront les points de la courbe les plus rapprochés du diamètre BL ; en sorte que, si l'on trace par ces points les droites DG, D'G' parallèles à ce diamètre, on aura deua: limites entre lesquellM il ne saurait exister aucun jmint de la courbe, qui alors détend indéfiniment au-dessus et au-dessous de ces parallèles, tant à droite ija'à gauche de CF, et de plus est tangente à ces mêmes painltètes, aux points H et H'.

Ainsi, pour l'hypothèse de B'— 4AC> o, ce qui distingue le cas des racines imaginaires de «ielui des racines réelles et inégales, c'est que dans ce dernier cas la courLe rencontre son diamètre BL, qui est un diwnétre transverse, et que dans le premier, le diamètre est non transecrse.

301). Beharque. ~ Dans la discussion précédente , il n'est pas fait mention du cas oii l'équation générale serait privée, soit de l'un des carrés des variables, sdl de tous deux.

Il est aisé de voir que ce cas se rapporte à la troisième hypothèse, B^— 4âC> o, puisque cette quantité se réduit alors à B'.

Examinons les différentes circonstances qui peuvent se présenter :

1° A = 0, C étant ditVérent de zéro.

Les quantités a, b, m, n, p [296), se présentant sous forme infinie, le mode de discussion employé n" 299 semble se trouver en défaut.

Mais rien n'empêcherait de résoudre l'équation par rapport à ^, et l'on serait conduit à des résultats analogues.

Observons, du reste, que dans ce cas, la variable/ n'entrant dans l'équadon qu'au premier degré, toute valeur réelle de a:, positive ou iiégntive, donnerait toujours une valeur réelle pour j.

Ainsi, la courbe existe et s'étend indéfiniment clans le sens des x positifs et dans celui des x négatifs.

3o4 DISCUBSIOS DE l'ÉQUATIOK GÉKÈRAIE Dt3 2' lliiGRIÎ

2° C = o, A étant différent de zéro.

La discussion du n" 299 est directement applicable dans ce eus.

Cette circonstance échappe véritablement ii la discussion tello que nous l'avons établie.

Mais il faut remarquer qu'alors les deux variables .k et y n'entrant qu'au premier degré dans l'équation, quelque valeur que l'on donne à l'une, on aura toujours «ne valeur réelle pour l'autre.

Donc encore, dans ce cas, In courbe s'étend indéfiniment dans loin lc\

301. Conclusion GÉNÉRALE. — Il résulte do toute cette discussion de l'équaUon générale du second degré qu'aux trois hyjjothèses faites sur les coefficients, savoir :

- 4AC < o,

-4AC>o,

correspondent trois genres de courbes ;

1° Des courbes limitées dans tous les sens, ayant pour variétt'S point ou bien une courbe imaginaire;

a° Des courbes limitées dans un sens et illimitées dans l'autre, aj pour variétés deux droites jiarallèles, une seule droite, ou bien d droites imaginaires ;

y Des courbes illimitées dans tous 1 lème de deux droites qui se coupent.

Ces résultats sont d'accord avec ceu mettant (1S3 et suivants) l'équation gé de coordonnées, opération qui nous a conduits aux équations

sens, ayant poiir variété m

\ avons obtenus le double transfo

hP, M7'--Nj;'= h:P, Mj' = Qj^,

dont chacune, considérée séparément, représente, ainsi que nous l'avons démontré, des courbes jouissant des mêmes propriétés, quelles que soient /es valeurs numériques des coefBcients M, N, F, Q.

Nous sommes donc en droit de conclure : i" que les civis genres de courbes auxquelles nous sommes arrivés ptir la séparation des variables, sont des ellipses, des pahaboles ou des hyperboles, telles qu'elles ont été définies géométriquement aux n" 124, 134, 141 ; et a" que l'on peut, dans les applications numériques, afin de faciliter les constructions, faire usage de toutes les propriétés que nous avons successivement établies pour chacune de ces courbes.

La division des courbes du second degré en trois genres étant ainsi opérée, nous allons voir comment on peut, dans chaque genre, déduire de

DËD. DE LA SËP. DES VAB. DANS l'ËQ. GËK. DU 3' DEGnfi. 3o5

la sÉPAiiiTiON DES vARiABLKs qucIques lignes remarquables qui servent à déterminbr la forme et le cours de la courbe.

1° Constriiriion d'an s^Hlème iVaxua ou de àiaméircs conjugitèi:.

302. Pababoles. — Reprenons l'équalion relative à ta première liy^ioihèse (297), savoir ^___^

le radical peul être regardé comme l'ordonnée de la courbe, comptée à partir du diamètre BL (fig. iS?); et si l'on prend ce diamètre comme nouvel axe des a:, \e conjugué de cot aseest (272) la tangente DBH.

Transportant -l'origine au point E, dont les coordonnées par rapport aux axes primitifs sont

et désignant par « l'ordonnée rapportée l pour l'équation de la courbe

On connaît ainsi le paramétre à ce système d'axes conjugués,

qui peut etro représenté sur ^^fignre pr.r

EN, MN étant les coordonnées d'un point quelconque de la courbe rapportée au système d'axes EL, EH ; et, par suite, ou est en mesure de construire complètement la courbe d'après le procédé du n" 2!)2.

303, Ellipses. — Comme la courbe est (298) tangente en E, E' aux deux droites DG, D'G' \fig. i38), il s'ensuit queEE' représente en grandeur et en direction un diamètre dont le point milieu 0 est le centre de la courbe.

Son conjugué a donc pour direction la droite indéfinie CE menée par co point parallèlement à ÂY ; et il ne reste plus qu'à en trouver la longueur.

Or l'abscisse AC du point 0, centre de la courbe, a pour expression

AD -H AT)' n — . ou ,

^ji. de l'Ai. » la G. 20

3o6 coNSTR. d'un système d'axes ou ejî dum. cosjcgués demi-somme des racines de l'équation

Par conséquent, si l'on remplace œ par celle valeur parl.iculière dans l'expression de /correspondante, on trouvera, pour la valeur do

dont le double représente ia dislance HH' entre les points H et H', où le second diamètre doit rencontrer la courbe, ou, en d'autres termes, la iongueur de ce diamètre.

Connaissant ainsi deux diamètres conjugués en grandeur et en direction, on pourra construire la courbe comme il a été dit au n" 292.

N. B. — Si l'on mène par les points H, H', déterminés comme on vient <le le dire, deux parallèles au diamètre EE', la conrbe sera inscrite au parallélogramme IKKT.

Les droites IK, l'K' sont hs deux limites dont il est fait mention au n" 298.

S04. HïPEHBOLEs. — Il faut traiter séparément le cas où les racines du trinûme mx' + inx -\- p sont réelles et inégales, et celui où ces racines sont imaginaires.

Premier cas. — On a vu déjà [299) que EE' [fig. iBg) représente un diamètre en grandeur et en direction; d'où il résulte que le point 0, milieu de ce diamètre, est le centre de la courbe.

En raisonnant comme au numéro précédent, on est conduit à faire

e du point 0, dans l'expression

Mais, comme la droite indéfinie CF est un des diamètres non transeerses de la courbe, celte valeur est nécessairement imaginaire et (139)

DÉD. DE L* SÉPAR. DES TAB. DANS L'ÉQ. GÉN. DU 2' DEGRÉ. 3o^ expression qui, divisée par /— i, donne aN pour la hngneiu- du diamètre conjugué, dont la dii-ection est déjà connue.

Si maintenaftt on porte sur la droite CF, et à partir du point 0, deux dislances OH, OH', égales à N, et (jneVon mène par les points H, H' deux parallèles au diamètre EE', on obtiendra un parallélogramme IKKT, im-crii hYhrperho/e{^S).

Puis, si l'on joint le point 0 aux (?««(re sommets de ce paraMogramme, on aura les asymptotes de la courbe, qui peut d'ailleurs être facilement constrnite, puisque l'on en connaît deux points E, E' [voir le n° 257 ).

Second cas. - La courbe éUnt (299) tangente à DG, D'G' {fg. i/jo), la droite HH' peut Être considérée comme une conle de la courbe; et comme elle est la />/«.* pctiie de toutes celles que l'on peut mener parallèlement à AY, il s'ensuit que cetfe corde est un diamètre, dont le poim milieu 0 est le centre de la courbe.

On a donc déjà un premier diamètre en grandeur et en direction.

Pour avoir son conjugué, remarquons que l'abscisse du point 0 ust

AC ou --,

ijuantité déjà conslruîLe (299) ot égale à la demi-somme des racines di' l'équation

lesquelles sont, par hypothèse, imaginaires; mais si l'on divise, commi; dans le premier vus, par \/— i la quanUté radicale de la forme

qu'ensuiteonporie, de part et d'autre du point C, deux distances CK,CK', égales à N, et qu'enfin on mène par les points K, K' des parallèles à A¥, on déterminera sur la droite BL, parallèle aux tangentes DG, D'G', deux points I, I'; et la portion de droite II' sera le diamètre non transnerse, conjugué de HH'.

Les quatre sommets du parallélograranke DGG'D', inscrit à l'hyperbole, étant ainsi obtenus, on passe, comme il vient d'être dit, à la construction des asymptotes, et, par suite, à celle de la courbe.

303. Remarque générale, — On pourrait également, pour chacun des trois genres de courbes du second degré, appliquer à la détermination des axes principaux le mode de séparation des variables dans l'équation générale en ayant soin, alors, do considérer les courbes comme rappor-

3o8 cossrnucTion i

tées, non plus, comme dans la discussion précédente, à des ases quelconques, mais bien à des axes rectanguhiircs, ce que l'on peut toujours faire (184). Toutefois cette opération présenterait d'assez grandes difficultés, et il est pvéïurable d'avoir recours à la méthode de réduction pour la transformation des coordonnées (n™ 153 et suivants).

t" Constriwlion da cnyniptvles dans Vliypcrbotc.

3(t6. On a vu (3S7) que lorsque l'on connaît les asymptotes de l'hyperbole et un seul de ses points, la construction de ia courbe s'exécute avec ia plus grande promptitude. Il est donc important d'obtenir directement ces droites.

Reprenons, à cet effet, l'équation générale

Aj--)~B.)7r-t-Cj;"-HDj-HEj^-+-F = o, que nous supposons satisfaire à la condition B' — 4 AC> o.

En conservant les mÉmes notations qu'au n" 296, on peut la mettrt» sous la forme ^^___^__

X = ax -i-b± \fiii^^ 4- y.n^ -r- p, ou bien (299)

^i>±^,.{.^'^;)\..dr-

le signe supérieur de q; inli', correspondant au cas où les deux racines sont réelles et inégales, et le signe inférieur, à celui ofi elles sont imaginaires.

Cela posé, si, dans l'expression (i) de y ou fait abstraction du terme =p 7hA", elle se réduit à

équation du premier degré en x et en /, représentant tin système de deuj: lignes droites qui se coupent.

Je dis que ce système est précisément celui des asymptotes de la courbe.

En effet, remarquons d'abord que l'ordonnée de chacune des deux droites se réduit à l'ordonnée du diamètre j' = aj:-\- h, quand on fait

ce qui prouve que les droites appartenant à l'équation {-i) se coupent

ME LA SÉPAIl. DES V*n. DAKS l'ÉQCAT. GÉN. I

ir lo diamètre, au point qui a pour coordonnées

ilus, comme les expre=siuns (i) et (2) ont une partie commune, ; et ne difierent que par lea quantités radicales dont le signe est e pour toutes deux, sj 1 on pose

la différence entre les ordonnées de la courbe et les ordonnées de cliaque droite sera exprimée par

les deux quantités « et u' étant telles, qu'elles augmentent en même temps à mesure que .« augmente.

Ainsi, il s'agit ( 243 ) d'établir que cette (Vffêrence peu t devenir moindre que ioiile grandeur donnée, et se réduit à o, quand on fait x = 'x .

Opérons comnw au n° 2i5, et élevons au carré les deuj: membres des équations [3) et {{\)\ il vient

Or l'inspection seule de ce résultat fait voir que la différence u' — n. diminue sans cesse numériquement, il mesure que x auj^iiicme, et devient md lorsque l'on suppose x infini.

Donc l'équation [2) est bien celle des deux asymptotes.

Remarque. — Ce mode de détermination des asymptotes, que nous appliquerons bientôt à des équations de degré supérieur, se traduit en une règle pratique fort ample i

Extrayez algébriquement la racine carrée de la quantité soumise au signe radical, dans l'expression générale de l'ordonnée y, de ta courbe, et négligez le reste de l'opération .

La double ordonnée des deux asymptotes est égale à la punie ration-

i DÉDUITE

/le/lc de ly de la courbe, augmentée ou diminuée de la partie entière de la racine carrée.

Ainsi, dans l'équation

comme on trouve pour cette partie entière

le reste étant p — —■, il en résulte pour l'ordonnée des asymptotes

résultat obtenu ci-dessus.

307. Cas ou l'équation générale est privée soit de l'un deb cabrés DES VARIABLES, SOIT DE TOCS' DEUX. — Ces cas méritent «ne attention particulière.

r Soit C = 0. — L'équation générale devient

Aj= + B^j -i- Dj H- Kjf -H V =- o, d'où

Extrayant la racine carrée et ne tenant compte que des deux premiè parties, on obtient successivement, après toute réduction,

ce qui prouve que, dans ce cas, l'ii?ie des asymptotes est parallèle à l'axe des X.

On peut encore parvenir aux mêmes résultats de la manière suivante :

L'équation, résolue par rapport à x, donne

ou, eiTecLuant la division,

A . AE-BD , ]îl>K — AE'-B'F

DE LA SÉPAH. BES VAR, DANS L'ÉQUAT. GÉN. BU ■>■' DEanÉ, 3l 1

Premiéremeni, si l'on fait, dans cette espression,

>e partie dont elle est composée s'évanouit, et l'abscise génirale de la courbe se réduit à celle de fc droiie

qui, jouissant de la propriété d'avoir ses deux points d'intersection avec la courbe situés à Viiifmi, ne saurait être qu'K«e asymptote [244 et 243) . On déduit, en effet, de cette dernière équation,

c'est la seconde des asymptotes trouvÉcs par le premier moyen. Secondement, si l'on pose

les deux premières parties de la valeur de 3: se réduisent à kAE ~ BD

et la troisième partie devient infinie, puisque, son numérateur étant unf; quantité /«i'e, généralement diilérente de zén}, son dénominateur est md.

est réquaijon d'une droite qui ne peut rencontrer la courbe qu'à une distance infinie; cette droite est, par conséquent, une asymptote : c'est la première obtenue par l'autre méthode, N. B. - Si, avec l'équation

on avait, en même temps, la condition

BDE - AE=— FB^ = o, ou AE= 4- FB' - BDE = o,

la valeur de x se présenterait sous la forme -1 qu'on peut interpréter en remarquant que cette condition s'obtient comme cns particulier, par

3l2 RÉCAP. DE LA DISCDSS. [lE l'ÉQ. OÉN. DU 2' DF.C.RÉ

rhypothcse C = o inlrodiiite dims la relation

AE' 4- CD" -f FB= — BDE — 4 ACF = o,

qui correspond {voir la note au bas de la page 3o2) an cas où la courbe se réduit à an système de deux droites.

2° Soit A = o. — B suffit, pour passer du cas précédent à celui-ci, de changer 7, A, D en x, C, E, et réciproquement.

On obtient ainsi

et l'on voit qu'alors l'une des asymptotes est parallèle à l'axe des y. y Soient à la fois A = o, C = o . — L'équation générale se réduit à

B3T/ + D/-i-E.r + Fr=o.

d'où, résolvant par rapport à j, et effectuant la division pour rendre le numérateur indépendant de j^,

résultat d'où l'on déduit, corn

les conséquences suivantes ;

Premièrement, si l'on fait

B BtBj^ + o dans le pre.

la valeur de l'ordonnée/ de la courbe se réduit à des deux parties dont elle se compose devient n

est l'équation d'une droite qui rencontre la courbe o à Yinfi/ii; c'est donc une première asymptote. Secondement, soit posé

la valeur de y devient infinie, tant que l'on n'a pas

DE - BF =: o.

L'équation

j; li

TAR LA. SÉPABATION DES VARIABLES. 3l3

est celle d'une droite qui généralement ne peut rencontrer la courbe qu'j Y infini, et est, par conséquent, une autre as/mpiole. La condition particulière

DE ^ BF = o,

que l'on peut déduire de la relation

AE=+FB=-BDE = o,

en y posant A = o , signifle encore ici , comme dans le premier cas, que la courbe se réduit h un syMème de deux di-oites; ce qui n'infirme pas la «inclusioii préc^enle.

Donc enfin les équations

r- ij' ■^- u

sont celles des asymptotes de l'hyperbole représentée par l'équation

B-c/ + Dj -t- E j; + F = o.

Ces asymptotes sont respectivement parnllétes aux axes .

On parviendrait au même résultat en faisant disparaître les termes tinéaires en X et y, par une simple translation d'origine, ce qui ramènerait l'équation à la forme

xy -. P,

que l'on sait être (2S2) l'équation do l'iiyperbole rapportée à ses asymp-

308. Remarque. ~- Ce n'est que sur des exemples numériques, où les véritables signes des coefficients sont connus, qu'il est possible d'entrer dans des détails de discussion propres à donner une idée nette du rx)urs de la courbe, tant par rapport aux axes que par rapport à certaines droites dont on fixe la position, en vue de faciliter la construction de la courbe elle-même et d'en faire connaître toutes les affections.

309. BÉcAPiTULATiON GÉNÉRALE. — Avant de passer aux applications numériques, nous croyons utile de faire une récapitulation des principaux caraclères servant à distinguer les différents genres et variétés que peut représenter une équation du second degré à deux variables.

i" Paraboles. B'~ 4AC= o,

relation qui (160) entraine lu. condition qi;e les trois premiers termes

Aj'-H B.CJ-+ Cj:', forment un carré parfait ,

3l4 nÉCAP. DE LA BISCTJSS. DE l'ÉQ. GÉN. DU 5.* DEGBÉ

Variétés. BD — aAE = o, D'— 4AF>, ~, ou < o, savoir :

i jy— 4AF > a, an système dedeux droites parallèles ; CD — ftAE =T o î D' — 4AF = o, une seule droite;

( D'— 4AF <6, deirs: droites imaginnires.

Le cas d'un système de deux droites parallèles est encore caractérisy par une équation de la forme

{ qy -i- rx -1- s) ( q'y -+- r'x -+- ,v') ^ o, dans Jacjuelle les coefficients q, r, q', r' sont ilireeiemenl pioportionnch ; caractère qui résulie de la forme que prennent les deux valeurs dej(297), lorsque l'on suppose

/; ou BD - aAE = o.

Et en effet, si l'on êgEde à o chacun des facteurs do l'équation précédente, il vient

et comme, par hypothèse, on a - = -ri il s'ensuit que les droites correspondantes satisfont à. la condition de parallélisme. 2° Ellipses. B'— 4AG<o ou négatif;

condition qui exige que A et G soient de même signe. Vamétés. a = C, B = o. Le eercte [vnir le n" 16i ),

Ces deux dernières relations étant développées [voir 'ki note au bas de la page agg) donnent

AE=-HCD"i- FB^-]tDE-4ACF " °' ""P°"'^'

[ <i o, iiiic courbe imaginaire.

Le point et une cowbe imaginaire sont aussi, respectivement, caractérisés par des équations de la forme

(77+ rx ■+■ Sf^iq'x -+- r'.r h- s'Y - »■

[qy+rx -f- sf + yq'y-^ r' x -^^f-V- P^O

if étant une quantité numérique quelconque).

PAR LA SÉPARATION- DES VABIABLTÎS. 3l5

Ces caractères résultent (298) de la double valeur de j correspondant

aux cas de deux racines réelles et égales, ou de deux racines imaginaires.

La première équation ne peut subsister qu'autant que l'on a, à la fois,

syslimededeiix équations à deux inconnues, qui ropri5sente généralement

Quant à la seconde équation, elle ne peut être satisfaite en valeurs réclli's de x et de y, puisque f est supposé différent de n.

3° Hyperboles. B"— 4AO0, ou positif;

A et C sont indifférernment de même signe ou de signes contraires.

Vaeiété. Un système de deux droites qui se coupent; et ce système est caractérisé, soit par la condition

,r—pm = o (299), ou, développani,

AE'^ -1- CD' -H Y& - BDE — 4 ACF = o, (voirla mie au bas de la page 3o2), soit par une équation de la forme

(tjy ^rx^s) (r//-H /-'^ -h S-) -^ o,

les coefficients y, r, q', r' n'étant pas directement pii>pnrtionnels.

Ce dernier caractère se déduit de la valeur générale de y (299), dans le cas où les racines sont réelles et égales.

Ciinstriiction de courbes du second degré données par des équations numériques .

Obsbuvation PBÉLiMiNArnE. — Pour éviter des répétitions inutiles, il noua arrivera, le plus souvent, d'appliquer les principes résultant de la discussion générale, sans entrer dans aucun détail sur les raisonnements ; nous laissons aux lecteurs le soin de les reprendre eux-mêmes sur chaque exemple particulier, jusqu'à ce qu'ils se soient bien feimiliarisés avec tous les principes qui ont été développés dans cette discussion.

En outre, nous supposerons, pour plus de commodité, les axes rectangulaires, quoique tous les pimeipes de la discussion précédeDte soient, ainsi que nous l'avon'* déjà dit, mdépcndants de l'inclinaison des axes.