CONSTRUCTION DE COURBES BU SECOND BEGUE

et que, par les points D, D', on élève des parallèles LG, D'G' à A.y, les points M, M', où elles rencontrent le diamètre LL', appartiennent à la courbe qui, d'ailleurs, est tangente aux droites DG, D'G', et s'étend indéfiniment à droite et à gauche de ces deux parallèles, au-dessus et audessous de son diamètre.

Si l'on extrait (306) la racine carrée de la quantité soumise au radical,

pour l'équation des deux asymptotes, qui se coupent sur le diamètre au point 0 dont l'abscisso est

En séparant ces deux valeurs de j, on trouve

dont la seconde représente une droite IQV parallé/e à Pn, conforme à ce qui a été établi au n^SO?). Quant à la première valeur, elle donne

ce qui prouve que l'asymptote correspondante est ui par le point 0 et par le point F, pour lequel on a

La courbe peut maintenant, ainsi que nous l'avons dit pour le premier exemple, être facilement construite.

On pourrait ici, pour la déierminatioit des asymptotes, appliquer le procédé du n° 307.

Résolvant, à iSît effet, l'équation proposée par rapport à j:, on trouve

m, effectuant la divis

De cette expression on déduit :

i" Que pour

l'abscisse de la courbe se confond avec celle de h droite représentée p

PEU. BE LA niïCUSS. D!î l'èQ, GÉN, PAR lA SÉP. DES VAii. 827

l'équation

■£Ti sorte que cette équation est {Mi et 2-iS) celle d'uno asymptote à la courbe ; 2° Que pour k valeur particulière

l'abscisse de la courbe devient infinie, c'est-îi-dire que la droite j-^^ — i, parallèle à l'axe des x, est la stconde asymptote de la courbe donnée.

3iS. Rem*iioue importante. — Le mode particulier de détermination des asymptotes, esposé au ik" 307, et dont nous avons fait l'application au second exemple, est fondé sur la propriété démontrée aux n" 244 et 245, savoir : qne, dans I'hypebbolb, toute droite qui renco?itre la courbe à l'infini est nécessairement une asymptote.

Mais cette propriété n'existant pas pour les courbes de degré supérieur, il est indispensable, alors, de rechercher si une droite reconnue pour rencontrer la courbe à l'infini, satisfait, en outre, à la condition essentielle et caractéristique de s'en rapprocher indéfiniment et autant que l'on veut [2i3).

Avant de passer à ces sortes de courbes, appliquons celte recberLhe a Vexemple même que nous venons de traiter, en faisant, pour le moment, abstraction de la propriété sus-mentionnoe.

Reprenons à cet effet l'équation

qui, résolue par rapport à *, u donné

les asymptotes déterminées par le mode précédent sont rei les équations

1 premier lieu, y positif, et prenons la différence entre

CONSTUIJCTIOU DE COUIiBES HU SECOND IlEClift

c de la courbe et l'abscisse x' de la droite

Faisons d'abord y — o dans cette espre

c'est la distance RS qui sépare les points R, S, où la branche de courbe EM/» et la droite KK' rencontrent l'axe des a:.

On voit ensuite q\iepbsjw(g-we«(^, plus la différence diminm- ;

et les points de la courbe je rapprnchenl sons cesse des poÎDfs de la droite qui correspondent aux mêmes abscisses; lorsqu'enfln y devient infini, Ja différence des deux abscisses devient nulle.

Ainsi la branche EM/» de la courbe a pour asymptote la portion SK de la droite KK'.

Donnons maintenant àr des valeurs négutives, mais compviscs entre o et — I.

La première partie, ^ — - ) de i ab o e ar de K courbe devient négative, en restant toujours, mtméi q ement plus petite que -■

Quant à la seconde partie, elle estco tamment/widce et plus grande que I.

Donc la valeur de x est toujours p e et a „ enle sans cesse à mesure que y augmente dans le sens négatif Aï', jusqu'à ce qu'enfin on suppose ^ = — I ; auquei cas x devient égal à l'infini positif.

D'où Von déduit que

est l'équation d'une asymptote à la branche Rhi' de la courbe. Continuons de faire croître / dans le sens négatif à partir do — i . Soit fait/ = -(t -1- 5) dans l'expression de x, ce qui donne

on voit que a: est constamment négatif pour toute valeur de y comprise entre — i et Yinfinl négatif.

En posant, par exemple,

S = 1 = NK',

héd. le la iiiscus. ■

a LA SÈV. DES VAK.

Si, pour 3e moment, on fuit décroître 3 depuis i jusqu'à o, il est visible que la valeur générale de a; va en croissant numériijiœmèr>C sans cesser d'être négative, et qu'elle croît imléfinUnent, devenant égale à \injim négatif ^mi 5 = 0.

Donc la courbe, remontant vers la droite

^en rapproche continuelJcment et autant ijiie l'un veut; ce qui prouve que cette droite est asymptote à la branche Wn'm".

Revenant ensuite au point n', et prenant la différence entre l'abscisse générale de la courbe et l'abscisse de la droite

différence qui est égale à —^^ on reconnaît qn'elle diminue sans C^SSO et indéfiniment à mesure que S augmente, et qu'elle devient o pour S égal

Donc a; = ^— -est l'équation d'une droite fisjmptnte h la branche n'M' m"'.

Il est ainsi complètement établi que la droite

t asymptote aux deux branches Rjj/', n'ni", et que la droite

a asymptote aux deux branches Mm, n'Wm'".

Autres exemples relatifs à l'hyperbole.

33o APPL, B!! L,V ÎEÉTil. DE TISC. PAU LA Sf.V. DES VAIt.

Ce deniier exemple présente «ne ciroonsLance remarquiibie lorsque l'ci; résout l'équatioD par rapport à la variable x. On trouve

d'où il semblerait résulter que la courbe se réduit a icic seule !îg' droits.

Mais observons que, ai la division s'est faite exactement, c'est que !e ni raératour peut se mettre sous la forma

Ainsi k valeur de x devient d'où, chassant le dénominateur et transposant,

-'^hi-}^"

équation qui peut être satisfaite par l'une des deux conditions: ■ir^i = o, d'où j' = 2; j:^ — a=o, d'où r=ix—i.

Donc, la courbe se réduit véritablement au système de deux droitei donl: l'une avait disparu par l'eifet de la division.

g II. — Application de la hiéthode de ihscussiom par la sbparatiom DES VABiÀDLEs a des équations de DEGiiÉ supérieur; ei' uiscussiom

DIS QUELQUES équations POLAIHES.

316. Œservations préliminaires. — \° Toutes les fois que l'on se propose de déterminer le lieu géoméLrique d'une équation à deux variables, la détermination des coefficients d'inclinaison des tangentes et celle des asy-n^p-

A DES ÉQUiTlOKS i>lî DEGEÉ SOPÉHlEUn. 33î

tûtes, si le lieu cherclié est susceptible d'eu avoir, sont deux questions d'un usage fréquent, parce que ces droites, une fois construites, donnent presque toujours le sentiment de la forme et des diverses circonstances du cours de la courbe qu'on a en vue de déterminer.

2° S'il arrive que l'expression de y en x, ou de x en r, renfenne un radical du second degré, on est conduit à la construction d'n» diamètre, parce qu'il facilite la détermination des différents points de la courbe; il suffit, en effet, pour chaque valeur donnée à l'abscisse, par exemple, de porter sur une parallèle à l'axe des j, de part et d'autre de ce diamètre, une distance égale à la valeur numérique du radical.

Les diamètres, comme les asymptotes, peuvent être, d'ailleurs, rectilignes ou curviligne.': ; maïs dans ce dernier cas, ce sont ordinairement des lignes plus faciles à const-uire que la courbe elle-même.

3° Les courbes peuvent jouu de la propriété d'avoir an ou plusieurs

En donnant ( 130) la définition du centre, noua avons fait voir que son caractère analytique con^i'^te en ce que la courbe étant rapportée à ce point, comme origine des coordonnées, son équation est telle que, si les quantités +or', +y', la vériflent, les mêmes quantités prises en signe contraire, — m\ —y', la vérifient également; ce qni revient à dire que réquaIJon reste la même lorsque l'on change-+-icet4- jen — ^ et en — y.

D'après cela, quand il s'agit d'une courbe de degré pair, la somme des exposants des variables dans chaque terme de son équation doit être un nombre pair; et le contraire doit avoir lieu ai la courbe est de degré «n-

Toutes les fois que cette condition n'est pas remplie, on peut affirmer que le point pris pour origine n'est pas un centre de la courbe.

Mais il reste à savoir si la courbe est douée d'un centre o\i même de plusieurs.

Voici, à cet effet, le moyen à employer.

Remplace:^, dans l'équation, x et 7 par a; -i- a et j + È ; puis, déterminez les quantités a, b, de manière à faire disparaître les termes dont !e degré n'est pas de même parité que celui de l'équation (c'est-à-dire de degré ^"> si l'équation est de degré pair ou vice versa) .

Comme il n'y a que deas: indéterminées a et è, on ne peut poser qi;o deux équations de condition; mais si la courbe a réellement un centre, il arrive nécessairement que les valeurs de a, b, ainsi obtenues, font disparaître à la fois tous les termes qui empêcheraient la condition carartérisdrjue d'être satisfaite.

Los deux équations de condition pouvant être de degré supérieur au premier, il s'ensuit quo certaines courbes sont susceptibles d'avoif plu-

33a APPL. DE LA. MÉTU. T)E tiSi:. PMI LA SEP. DES VA.H.

sifurs centres. Quelquefois mémo elles en ont une infinie (*), ce queVcTi reconnaît au caractère-i obtenu pour les valeurs de a et de h.

Enfin, la courbe n'a pas de centre si Von obtient des valeurs imnginaiirs

■mfnl.

Ces notions générales étant établies, quations particulières.