APPUCA.T. HE LA M15TH. CE BISCUS, TAU LS

on, réduisant,

résultat indépendant de l'angle f .

Ce qui démontre que la courbe cherchée est une c décrite sur OA. comme diamètre.

Et, en effet, si dans l'équation

[,7- (ICOS^i

qui (S79) servent à transformer une équation polaire en u entre coordonnées ortknganales, il vient

équation d'un cercle rapportée à l'une des exlrémitte d'ucomme origine [voyez len" 73).

Deuxième exempte :

i et e désignant deux droites données do longue En posant d'abord

p = c r^ OC.

Tant que l'angle ç est compris entre o et 90 degrés, sin^f augmente et cosif diminue ; en sorte qu'il n'est pas possible de savoir, à l'inspection do la valeur de p, quand son dénominateur augmente ou diminue.

Mais si l'on met 6 sin !p •+■ ccos^sous la forme

tcosi^^tang-f-t-^j,

yGoosle

A LA CONSIRDCT. lli; URNES DONNÉES EN ÉQUAT. POLAIBES. 343

on voit qu'en donnant à (p une valeur particulière, ç' ou lOX, telle que l'on ait

tanga)'= — y, dou nirn'/ — , ■ -1 C033 — ■ ■■

/> ^ yJb-' + c- ^ <Jb'^c='

on obtiendra pour p une longueur infinie; d'où il suit que la ligne cherchée est rencontrée par la droite LOL' en deux points situés à Yinjini,

Prenons maintenant un point quelconque M du lieu géométrique demandé, et proposons -nous d'évaluer la distance MP de ce point à la droite LU.

On a

MP = OM sinMOP =-- ^^.^^ l'^ccos ^'"**'^^' sinMOP = siiiLOM = sinfrp'- » ) = siuf'cos'^ — sin^icos^/; d'où, remplaçant sinc|j', co3^' par leurs valeurs,

ism<f> + ccos? \^ ^U'+c' ) ou, supprimant le facteur commun,

expression indépendante de la variable i» : ce qui démontre que ie lieu géoméirique cherché a tous ses points h une distance constance de la droite LL', ou, en d'autre termes, est une parallèle à celle droite.

Et, en effet, l'équation de la droite BC, en coordonnées orthogonales, est(gS)

et si l'on y remplace icel^par leurs valciirspcosy, psmf, exprimées (278) en coordonnées polaires, il vient

c'est-à-dire l'équation que l'on avait à discuter. Troisième exemple :

Décrivons du pôle 0 comme centre, avec le rayon OA = i, une férenœ de cercle, et menons par ce point les axes rectangulaire YT', ainsi que les bissectrices LL', L''L"' des angles YOX, TOS',

344 APPLIC. BE L\ MfiTn. DE DISC. P*!l LA SÉP. DEJi VATl.

Cela fait, calculons et construisons loa valeurs de q qui correspondant oux angles o", 45°, 90", iSS", 180", 225", etc. : iiif=-o; p = i = OA;

ï =: 45°, sin^ -- - v^; p - ■ — -Li ---= v'^ — I = 0,4 = 011;

p = 1 ^ oc, th-rs de OA :

p= /;i i^ o,4 = 0M'= OM;

valeur négative qui (283) doit être porté en M"; de sorte que l'on ait 0M"= a, 4;

r le prolongement de OL',

valeur qu'il faut également porter e donne OC ;

iitniiip de 0¥', ca qui -^OA.

Ces différents résultats démontrent que la courbe cherchée doit passer ; 1° par les points A, M, C, M', B; a" par les points M", C, M", et qu'ainsi elle se compose de deiu: branches opposées.

De plus, ces branches s'étendent indéjîidmcni à droite et à givjike deAY.

Car la valeur do p devenant infinie quand on fait

- sJnSSo";;

inBo",

il en résulleque, si par le point 0 on mène deux droites KK', II', formant aveoriT^ce polaire OX, l'une au-dessus et l'autre au-dessoiis de ces axfô, des angles de 3o degrés, ces droites rencontreront la courbe à Vinfi/ii. Si maintonant ou fait, dans l'équation donnée,

cos<f ,

A LA CONSÏR. BE IIGKES BOfiKÉES EN ÉQtlAT. POLAIRES. 345

qui (287) n'est autre que l'équation d'une hyperbole dont l'un des foyers est pris pour pôle; le demi-paramètre est p~i = OA, et Vexcentiicilé

Pour retrouver l'iîquation de la courbe en coordonnées orthogonales, il suffît (279) de poser

et l'iJquation polaire primitive devient

ou, âpres qu'on a supprimé le facteur commun \/.c'' h- j', chassé le dénominateur, fait évanouir les radicaux et ordonné, V--^'-4;^ + i=o, équation que l'on peut ramener à la forme ordinaire on changeant d'abord r en j + - ) ce qui donne

puis (i40] en multipliant par^ — =; et l'on trouve enfin

Sous celte forme, on rpconnalt ;

1° Que l'hyperbole est rapportée k son axe transeerse comme use des/; i" Qu'elle a son centre au point 0' dont l'ordonnée est - ou 00' ;

3° Qw\ii demi-axe Irnnsi'cr.ti:, ou A, = ^ et que \s demi-axe non (mns-

Mvïe,onB, = l\/3.

On déduit de là ;

Pour le demi-panimèlrr,

et pour le rr»:;/((;r«ï(/''«<-('//«'/m« des asymptotes par rapport à l'axe AY,

346 COTi'STR. DE LIGMES DONNÉES EU ÉQUATIONS POLAIUES.

Désignant cotte inclinaison par «, et l'angle camplémentuire par a', on a ,- ± I ^ I

et, par SHito,

En conséquence, si l'on mène par le point 0' deus droites qui fassent,

aveel'aj^e polaire prîmilif Qk, les angles dont îe sinus soit égal à ±-1

on obtiendra les deux asymptotes auxquelles les droites II', KK', qu'on avait trouvées dans ia discussion de l'équation polaire, sont parallèles ,

Tous ces résultats sont en parfaite concordance.

Les exemples de discussion que nous venons de traiter ne peuvent donner qu'une idée tr^imparfaite de k méthode de discussion des équations polaires en général, parce que la détermination de certains /loinff et de certaines droites remarquables exige souvent la recherche des dérivées de différents ordres àes fonctions circulaires, question qui dépend plus particulièrement de ce que l'on nomme l'analyse infinitésimale ou transcendante; mais ces exemples suffisent pour mettre au fait de la marche à suivre, tant .ju'il nu s'agit que de courbes du second drgré.