CHAPITRE IS

COMPLÉMENT ET APPLICATIONS DE LA THÉORIE GÉNÉRALE DES COURBES DU SECOND DEGRÉ.

HA-CUHB DES CONDITIONS SERVANT A LA oéTEBMINATlOS SECOND DEGRÉ. — SOLUTIONS GÉOMÉTKIQOES POUR LA i CES COURBES d'après DES CONDITIONS E

319. On a vu (S6 et 96) que l'on peut se proposer de diiterniiner une ligne di-oice ou un cercle d'après certaines conditions dont le nombre est fixé,

La même nature de question s'applique aux u-ois courbes du second degré; les coefficients de leurs équations doivent alors être regardés comme des constantes indéterminées dont les valeurs dépendent des conditions imposées à la courbe.

Or, en divisant l'équation générale de ces courbes par le terme indépendant des variables, on la ramène à la forme

Cette équation renfermant cimi coefficients, il s'ensuit qu'on peut, généralement, assujettir la courbe à cinq conditions différentes ; et ces conditions exprimées algébriquement servent à déterminer les coefficients a, h, c, d, e.

Soit, par exemple, proposé de foire passer une cnurlie du second dcgrd par cinq points.

Appelons (j;', j'), (a;'",/"), [.c'", )■■'"}, {.v'", y'"), (x",/') les coordonnées de ces points.

En substituant succe^ivement dans l'équation (i) chacun de ces cinq systèmes, on obtiendra cinq équations du premier degré en a, b, c, r/, e, l^queiles, étant résolues, donneront les valeurs de ces coelEeients ; et, en rapportant ces valeurs dans l'équation (i), on aura celle de la courbe issujettie à passer par les cinq points donnés.

Cette courbe sera d'ailleurs une ellipse, une hyperbole ou une parabole, suivant que l'on aura (159 et 301) entre les coefficients «, b, c, des trois

Il pourra même se faire que la courbe se rÉduisc à l'une dos vi-iriéiés; c'est ce qui arriverait, par exemple, dans le cas où, sur les cinq points, on en donnerait trois en ligne droite.

L'équation du lieu géométrique passant par les cinq points, ne saurait appartenir, alors, qu'à une droite, ou à un système de deux droites.

Car la combinaison des équations d'une courbe du second degré et d'une ligne droite, donnant lieu à une équation du second degré, il s'ensuit que ces deux lignes no peuvent avoir, au plus, que deux points

On observera encore que, si la courbe cherchée doit être une pababolb, quatre points suffisent pour la déterminer; puisqu'on a déjà entre les coefficients de l'équation la relation particulière

Toutefois, comme cette équation est du second degré, tandis que les autres sont du premier degré, on devra généralement obtenir deux pai-aboles pour réponse à la question.

320. Au lieu de donner des points de la courbe, on peut supposer connues de position des droites auxquelles la courbe soit assujettie à être tan-

Si, par exemple, on veut que la courbe soit tangente à une droite

m et n étant des quantité connues, il suffit de combiner cette équation avec l'équation (i), et, après avoir formé une équation du second degré en r déi-rire (93 et iOi) que les deux racines dt cette équation sont cgalf^

On obtient ainsi une re cti n entre lea indelcrn nées n, b, t, d, e, et les quantités connues m n

Même raisonnement poui une seconde, une troisième, etc., droite à laquelle k courbe devrait être tangente

La connaissance d'une asywptote équivaut \ celle d'/iwe tangente et d€ son point de contact, puisque (244) les asymptotes sont des tangentes à l'infini. Ainsi, il suffit de trois autres conditions pour déterminer \z courbe,

321. Si la courbe doit avoir un centre, et que l'on donne la position d(