POUR LA DÉTBHMINATIOK DES COURBES CD SECOND DEGRÉ

ce point, Irais autres conditions sont encore suffisantes pour la détermination do la courbe.

En effet, comme rien n'empêche de prendre ce point pour origine, l'équation est alors (162) de la forma

et ne renferme que trois coefficients h déterminer; ainsi la connaissance du centre équivaut à deux conditions différentes.

Il est vrai que, dans ce cas, la courbe ne peut Èlre qu'une ellipse ou une HïPERBOLB, ou (1S8) un système de deux droiles piiratlèks.

332. Lorsqiie, pour une ellipse ou une hyperbole, on donne do position soit le système des axes principaux, soit un système de diamètres conjugués, il suffit de deux autres conditions pour déterminer la courbe.

Car ces courbes, rapportées à Vun ou à l'autre de ces systèmes, sont représentées par les équations

A'/'±:B'j;'=:± A'B', ou .\"j '± B"j:'^--; ± A"B"

dans lesquelles A et B o« A' et B' sont las deux seules constantes à déter-

Quant à la parabole, si l'on donne les axes principaux ou un système à.'axcs conjugués, il ne faut plus qu'une seule condition pour la déterminer, puisqu'il entre une seule constante, p ou p', dans les équations

j' = zps;, ou y' = nf/x,

qui représentent la courbe rapportée & l'un de ces systèmes.

323. Ces principes élant bien établis, nous anona laire connaître nu moyen plus simple ipie celui qui a été exposé (27i, 210 et 2i2) pour construire :

1° Une PABABOLE, connaissant un système i'axes conjugués et le paramètre à ce système ;

2° Une ELLIPSE ou une hyperbole, étant donné de position et de grandeur un système de diamètres conjugués.

Premièrement. — Soient AX, ÂY [fig. i54) un système d'axes conjugués, ■ip' le paramètre à ce système.

Prenons sur Aï et au-dessous du point A une distance AD égale à a;/, et menons par le point D une droite DL parallèle à AX; puis tirons piir le point A une droite quelconque AH.

Les équations de la parabole, de la droite AH, et de la purallcle DL.

y^ = ip'.r, r="^, .r = -■!;-'.

i COMilITIONS

Or la TOmblimison des deus derniferes éqisations donne, pour les ooordonnfes du point E où la droite AH rencontre la ligne DL,

D'un autre côté, en combinant la première et ia seconde équation, on trouve pour ies coordonnées des deux pointa d'inLersection A et M, de AU avecJaconrbo,

d'où l'on voit que les distances DE, et MP ou AG, sont /égalas,

Cette propriété étant vraie pour toutes les droites menées par le point A, on en déduit le moyen suivant de construire la courbe :

Prenez iitr AT, et au-dessous du point A, AT) = ip', et menez DL parallèle à AX; tirez ensuite des droites indéfinies ÂH, AH',, , .; portez les distances DE, DE',..., de A e/î G',,.., et par ces derniers points tracez GR, G'K', parallèles à AX.

Les points M, M',..., c(i ies droites AH et GK, Ali' et G'K',..., se rencontrent, appartiennent nécessairement à la courbe.

Secondement — Considérons I'ëllipsb.

Soient OB = A', OC = B' {fig. i55) deux demi-diamètres conjugués, AY la tangente au point A, DL une parallèle à AX, menée à une distance

qui représente \<i paramètre au système donné. Tirons d'ailleurs deux cordes supplémentaires quelconques AM, BM. Les équations de ces deux droites et de la parallèle DL sont

:)=ax, j=û(a: — lA'), y = ~-jr;

les quantités a, a' étant ('182 et 209) liées entre elles par ia relation

Or la combinaison de la première et de la troisième équation donne,

rOUR lA DÉTEEMiKATlON BES COUIIRES Bil SlîtONIl DEGllfi. 35l

Dr les coordonnées du point E,

1 autre coté, si l'on tait j; = o dans la seconde équation, il vient 'ordonnée du point G où la droite BM rencontre AY.

a cause de la relation ad — ~ -y,,

d'où résulte