RM:UN::MF:NI

(a) MP:NQ::MF:NI;

donc, a cause <3u rapport commun aux proportions (i) et ['i),

.MF:KF::MF;NI; et par conséquent

KF = Kl.

Le triangle NIF étant isoscèle, il s'ensuit que les angles îsTl et MF oa IF ni sont égaus.

32S. De cette propriété il résulte qu'une courbe du second dogré ei-t déterminée, lorsqu'on donne un foyer ci trois points de la courbe; ce qui revient à dire que la connaissance de l'un des foyers équivaut à deux conditions difTérentes.

En effet, soient M, N, P {,fiif. iS?) trois points donnés par lesquels on veut faire passer une courbe du second degré, et F un foyer de celle courbe :

1° Si l'on tire les lignes MN, MF/n, FN, et qu'on mène la bissectrice FR de l'angle NFoi, le point R où les deux droites MN, FR se rencontreul, est nécessairement un premier point de la directrice ;

a" En exécutant une construction analogue par rapport à l'un des deus mêmes points N ou M et au troisième point P, on détermine un scœnd point S de cette directrice, qui est alors la droite DSHD'.

Maintenant, si du point F on abaisse FB perpendiculaire sur RS, on a la direction du premier axe. Menant ensuite de l'un des points donnés, N par exemple, NQ perpendiculaire à RS, on obtient NF : NQ pour le rapport constant qui doit exister entre la distance d'un point quelconque de la courbe au foyer, et sa distance à la directrice.

POUH L* DÉTEBHINiTlOn DES COUIIBES DO SECOND DEGRË. 353

DÈS iors on peut facilement (147 et suiv.) déterminer les grandeurs des

Suivant que le rapport NF : NQ est reconnu inférieur, sui>èriear, eu égal à l'unité, la courbe est, comme on l'a vu, une ellipse, une hyperbole ou une parabule.

Dans lafig. i5y, la courbe est (ma parabole, puisque l'on a

NF = NQ.

336. JV. S. — Lorsqu'on exige d'avance que la courbe soit une parabole [fig. i58), il suffit de donner deux points de la courbe avec lefojcr; et, dans ce cas, voici comment on dôtermiae la directrice.

Soient M et N les deux points donnés, F le foyer.

Après avoir déterminé le point R, comme précédemment, on décrit de l'un des points donnés, M par exemple, comme centre, et avec le rayon MF une circonférence; puis, du point B, on mène une tangente RT à cette circonférence.

La tangente ainsi tracée n'est autre chose que la tUrectrice ; car, de la définition de la parabole (141), il résulte que sa directrice est tangente à toutesles circonférences décrites des différents points de la courbe, comme centres, et avec des rayons égaux aux rayons vecteurs correspondants.

Puisque par le point R on peut, en général, mener deux tangentes à la circonférence, il s'ensuit qu'on obtient par co moyen deux directrices, et par conséquent deux paraboles; l'une est M'ANM, qui a pour directrice RT et pour premier axe BX- l'autre est «NnMm', dont la directiiee e-.t RT et le premier a\e lî \,

La question naurait qauiK ^euk srlution si la circonférence pas'^ait par le pomt R et d n v auriit aiuu/ie solution si le point R s> trouvait tit dfdait^ de la circonfdrence

327 Enfin la conmissance d un sinm t de li LjurbL epiMit in général, à deax condiU m

Car supposons, pour un instant qielon donne la diur jcmmtt du premier axe, pat exemple dune ellijse ou dune hyperbole et un point de la courbe

En joignant <,es sommets pir une droite in luia le ^rtinraxe ei gnndeui et en direction aïo'^i que le tentie de h courle

Dès lors, si dans l'équation

on substitue les coordonnées x\ y du point donné, rapportées au pre-

Jp. de VàI. àlaC. ^3

354 SOLUTIONS GÉOMÉrniQUES POUR LA DÉTEBMIKATION

mier axe et au second qui est lui-même connu de direction, il ^-iendra

équation dans laquelle la quantité B, étant seule inconnue, peut Être facilement construite.

La connaissance des deux sommets et d'un seul point de !a courbe suffit donc pour la déterminer; et comme, d'ailleurs, ces sommets sont symétriquement placés sur la courbe, un seul doit être compta pour deux conditions.

Solutions géométriques pour la détcrminntion d'une courbe du second degré, d'après des condition!^ données.

328. La détermination d'une courbe du second degré, d'après certaines conditions, est, en général, un problème assez difficile à résoudre par l'analyse, à cause de l'embarras que l'on éprouve souvent dans le choix des axes. Aussi s'^t-on attaché principalement à en rechercber des solutions purement géométriques, en se fondant toutefois sur les propriétés connues des trois courbes.

Les questions suivantes ont pour objet de mettre au courant de ces sortes de constructions.

PREUIÈBB QUESTION. — Trois droites et un point étant donnés sur un plan, trouver une courbe du second degré tangente à ces trois droites, et qui ait pour VOYEB. le point donné.

Soient Mm, Nn, Vp (J!g. iSg) les droites données, et F le foyer de la courbe cbercbée.

On a vu (201 et 237) que, dans l'ellipse et dans Yhfperbole, les pieds des perpendiculaires abaissées d'un foyer sur les tangentes ont pom- lieu géométrique la circonférence de cercle décrite sur le premier axe comme diamètre, fX (270) que, dans la parabole, ces mêmes pieds *e trouvent sur le second axe.

Cela posé, abaissez du point F les trois perpendiculaires FG, FH^ FK. Il peut arriver deux cas ; ou les trois points G, H et K forment un triangle, ou bien ils sont en ligne droite.

Dans le premier cas, jo'g'neE ces points deux à deux, puis élevez, par les milieux des lignes de jonction, des perpendiculaires LO, 10; elles so rencontrent en un point 0, qui est le centre de la courbe.

Tirez ensuite OF, et prenez sur cette droite deux parties OB, OA, égales à OG (distance du centre au pied de la perpendiculaire abaissée du point F sur Mml; vous obtenez AB pour le premier axe; et la courbe

D'UNE COURBE »U 5' DEGllÈ d'aPRÈS DES COND. DONNÉES. 355

est une ellipse ou une hyperbole, suivant quo le point B se. trouve placé sur le prolongement de OF, ou entre les points 0 et F.

Dans \^Jig. lâg la courbe est une ellipse, et le second axe CD s'obtient (131) en décrivant du point F comme centre, et avec le rayon OB, un arc de cercle.

Si la courbe était une hyperbole, Se centre de l'arc de cercle serait en B (135), et OF serait le rayon de cet arc.

DanslesEcopfDCAS, c'est-à-dire fojïyue les trois points G, H, E(^j='. i6o) sont en ligne droite, cette ligne KHGY représente le second axe de la courbe, qui est alors une parabole; et pour avoir le premier ase, il suffit d'*?baisser AFS. perpendiculaire sur KY . tu quadruple de AF représente d'ailleurs [273 ) le paramètre ; ainsi la courbe peut être construite facilement. iV. -B. — Lorsqu'on sait d'avance que la courbe cherchée doit être une parabole, û aaî&i Ag ootatalUe deux tangenles ei le foyer, puisque le second axe est (270) déterminé par les pieds des perpendiculaires abaissées du foyer sur ces tangentes; et, en effet, nous savons déjà que quatre conditions suffisent pour la parabole, et que la connaissance du foyer compte (325) pour deu3: conditions.

Dedsièmb question. — On demande de eo/istruire une ellipse, connaissant le centrv, la longueur de son grand axe, une tangente et son point de contact.

Soient 0 [Jig. i6i) le centre donné, A le demi-axe do la courbe, Tf la tangente et M son point de contact.

Du point 0 comme centre, avec le rayon A, décrii/ei une circonférence qm coupe généralement T( en deux points R, R'; puis élevez en ces ^\ais\^ perpendiculairesViS, R'S' à cette tangente; elles passent nécessairement (201) par lea/o/fz-î de la courbe.

Tirez ensuite la ligne OR, et par le point de contact M tracez MN parallèle îi OR ; il résulte de ce qui a été dit n° 203, que MN passe par h second foyer. Donc le point F', où R'S' et MN se rencontrent, n'est autre que ie second foyer.

Menez enfin la hgne F'O qui rencontre ïtS en un point F; et vous obtenez ainsi le premier foyer.

Les points A et B, où F'F rencontre la circonférence décrite, sont d'ailleurs les sommets de la courbe qui est alors complètement déterminée.

N. B. — Si le point de contact était placé sur la tangente It, en un point M' tel, que la droite M'N', parallèle à CE, rencontrât R'S' au point/' situé hors de la circonférence décrite avec le rayon A, la courbe, au lieu d'être une ellipse, serait une hyperbole dont le premier axe aurait pour direction /'O, et pour sommets <i, h. Les foyers seraient les poinls/', /, où la ligne /'O rencontre R'S' et RS prolongés.

yGoosle

356 rnopiiiÈTÉ comjujne

On \ M donc que bien qu'on ait demandé une ellipse, ir peut arriver que la construriion conduise à uile kyjmrbole.

Troisième questio"* — Construire une hypeibnlc, connaissant l'un des fjjers, une afjiiiptoie, et la hngueiir du pi'cniier axe ou le rapport des axes

Soient F {Jîg. 162) le foyer donné, LL' l'une des asymptotes, et 'A la longueur du premier axe, ou m le rapport B ; A.

Abaissez du point F \me, perpendiculaire sur LL'; le pied R de cette perpendiculaire est à une distance du centre de la courbe, égale à A (237), puisque l'asymptote LL' peut être considérée comme une tangente.

Ainsi, en supposant que A soit connu, /j/'enes à partir du point R sur LL', une distance RO égale n A ; et le point 0 est le centre de la courbe.

Menant ensuite OF, vous obtenez la direction du premier axe ; portant OR de 0 en A et B, puis OF de 0 en F', vous avez les deux sommets de k courbe, ainsi que les deux foyers. Tracez, enfin KK', de manière que l'angle FOK soit égala l'angle lûF; vous obtenez la seconde asymptote.

N. B. — Lorsque, au lieu de A, on donne le rapport m ou -^i la tan-

genle trigonométrique de l'angle FOR est connne ; ainsi la direction de la ligne FO peut être facilement déterminée. Quant aux grandeurs des demiaxes, elles sont évidemment représentées par OR et RF.

On a d'abord OR = A, conrime on l'a vu tout à l'heure ; et RF ^ B, d'après la relation

OF=<:=i/A=w-B',

qui donne nécessairement

QuATBiÈiiE QUESTION. — Etant donnés une asymptote, deux points, et le rapport des axes d'une hyperbole, construire la courbe.

SoienlLL', M, M'(^g-. i63), l'asymptote et les deux points donnés, m le

rapport j que Ion suppose connu.

Menez la droite MSI' qui va rencontrer LL' en R, puis, à partir du point ti', prenez une distance M'il' égale ÀMR; le point R' appartient à la seconde asymptote (2i9),

Comme le rapport j , ou m, est donné, faites, en un point quelconque !

de LL', un angle LIG dont !a tangente trigonométrique soit égale à m, puis un angle HIL, double de LIG.

Tracez enfm par le point R' la droite KK' parallèle à III, et vous avez ainsi la seconde asymptote.

AUX mois couitDES nu second degeë. 35^

La courbe peut donc être tracée facilement d'après la niélUode du n" 237. iV". B. — Si, au lieu du rapport des axes, on donnait ia position d'un troisième point, en joignant ce point avec l'nn des deux points déjà donnés, on obtiendrait un nouveau point de la seconde asymptote, dont la direction serait alors déterminée.

Voici les énoncés de nouvelles questions sur lesquelles on peut s'exercer : 1° Construire une parabole, connaissant le foyer, un point et une tan-

a° Construire une t-Uipsc, connaissant ileux tangentes, le centre cl l/i

3" CoHsti

îstrmre une fltipsc, connaissant deux tangentes, le centre cl du premier axe (la courbe peut être une hyperbole) ; tstrulre une hyperbole, connaissant une asymptote, un joyr.i

329. Nous complétons ces considc rations par la demonslralnn d'une propriété qui appartient aux trois courbe'* du socond dp^^rt et dont les géomètres ont tiré parti pour construiie cpti couibes d aptes certaines données.

Reprenons l'équation

(i) A,r'-HBjcr-l-Cj.'-i-Dj-i-E.r + F:=o,

([ue nous supposons représenter une des trois courbes, rapportée à un système rectangulaire OU oblique, AX, AY [Jîg. 164 ). Cette équation peut être mise sous la forme

Soit fait d'abord y --= o, pour obtenir les points où la courbu reiicontro

équation dont les racines ne sont autre chose que les abscmes des points demandés.

Si ces racines sont imuginaircs, c'est un indice que la courbe n'a aucun point commun avec l'axe des .r; et si elles sont égales, la courbe est (98) tangente à cet axe.

Mais admettons qu'elles soient réelles et inégales; et désignons par x\ j:", ces deuï racines, représentées sur \a figure par AB, AC,

Le trinôme j;' + r^ a- + - revient à ( j^ ^ x') [.x — .v"].

I l'SSTRUrTIf)"

Pour expiimet ce produit gcomeiinjue/iiËi/t, observons (]UK AP représentant une absciiMie quelconque, et ÂB, AC les a

(c-r')(j-- i') = PBxPC D'un autre côté, le dernier terme de l'équation (a

est égal au produit des deux racines de cette équation résolue par r; port à x; et ces racines sont représentées par PM et Pm, On a donc la relation

Pour d'autres abscisses AP', AP", . . . , on aurait également P'M' X f'm' C P"W X P'ni" G

et, par conséquent,

PBxPC ^ P'BxP'C P"lïxP"C

Ce qui démontre que, dans toute courbe du second degré, si l'on considère une sécante quelconque AX, puis une série d'autres sécantes parallèles entre elles et menées sous une direction tout à fait arbitraire, les i-ectangles des parties de ces parallèles, comprises entre leurs points de rencontre aven ht première sécante et leurs points d'intersection avec la courbe, sont aux rectangles des parties de la première sécante, comprises entre les pieds des parallèles et les points où cette sécante rencontre la courbe, dans un bapport constant.

Il est aisé de reconnaître que cette propriété, dite propnete de transversales, comprend implicitement celles qui ont été démontreeb dans les précédents Chapitres (209, 242 et 274).

En effet, si, la première sécante étant un diamètre quelconque, lo* autres sécantes sont parallèles au conjugué de ce diamètre, il en résulte PM = 2 m, P'M'= P'm',. . ., et la relation ci-dessus devient

Pm' fW' P"M"' PBxPC^P'Bx P'C^ P^BxfC' *

DE l'ÉQUATIOM DU SECOND DEGRÉ i I

On fait usage de cette propriété, pour faire passer uno courbe du second degré par cinq points donnés; mais les détails qu'exige cette construction nous entraîneraient beaucoup trop loin.

Nous renvoyons, pour ces sortes de constructions, au Traité des seclions coniques, par le Marquis de I.hôpital.