CK{CE
d'où l'on voit déjà que l'équation {3), qui revientà
est satisfaite par x = CE.
Comme on a pareillement
CE = CD-/^, ou - Œ^-a>+p, l'égalité prend la forme
{-CD-hp).{~CD) ^ i'; ce qui prouve que l'équation (3), ou
est encore satisfaite par .r = — CD.
Donc CE et —CD sont les deux racines de l'équalion (3|. a" L'équation
ne différant de celle-ci que par le signe de ,r, on en déduit que ses racines sont CD et —CE (la plus grande racine est ici la racine /JoiiWVi?).
T Passons à l'équation x'^^px = — P, que l'on peut mettre sous la forme
Pour obtenir ses racines, tlêrrivons sur la droite AB = /j, considérée comme diamètre, une demi - circonférence ; élevons en k [fig. im) la droite AC perpendiculaire a AB et égale à I<; puis menons CL parallèle à AB ; et de chacun des deux pointa D, où CL rencontre la demi-circonférence, abaiuons DG perpendiculuire sur AB.
Les deux racines demandées seront AG et GB.
CONSTR. DES RAC. BliS tQ. DU 3' ET DU 4' DEGR. A UNE INC. 3Gl
Car on a, d'après un théorème de Géométrie,
AG X GB = Dg' -= Âc' = /.'.
Mais
CB -.= AB - AG := /; - AG, AG ^- p - GC;
d'où, subslitiiant dans l'égalité précédente,
AG(/> - AG) --= i\ G^p - GB) = P;
et si l'on compare chacune de ces nouvelles égalités à l'équation [4)1 on peut conclura que celle-ci est satisfaite, soit par a^ = AG, soit par ^ — GB,
Ainsi AG et GB sont les racines demandées.
N.a, ~ Pour que ces deux racines soient susceptibles de détermination, il faut que la parallèle CL puisse rencontrer la demi-circonférence;
ce qui exige que /■■ soit tout au plus égal à 01 ou - ■
On sait, en effet, que c'est la condition de réalité dos racines dans l'expression
4° Quant à l'équation ^''-h/is: — — P, ses doux racines sont essentiellement iiégtiiiivs, et sont représentées par — AG, et — GB, puisque cette équation ne diffère de l'équation ( 4 ] que par le signe de a:.
Tons les cas relatifs à l'équation
se trouvent amsi traités.
Lorsque les coefflcients de l'équation du second degré sont des nombres particuliers, il n'y a rien à changer au mode de constmction des racines; seulement, il tant se reporter à ce qui a été dît au n° H concernant les radicaux numériques.
liqtmtinns lu tr tsume lI du quntritint dc^ (
331. Ou vient de voir que h li^nc dmiic et le cprde suffisent à la construction des racines dune équition du second degré \ une seule inconnue; mais il n'en est pas de mê-ne pour les équations du troisième ou du quatrième degré : il faut avoir recours à la construction de deux courbes du second degré dont l'une au moins soit différente du cercle.
Le principe fondamental de c«s sortes de constructions consiste à re garder l'équation proposée comme le résultat de l'élimination entre deux équations a deux inconnues, dont l'une, supposée , est prise pour abscisse, et l'autre pour ordonné!!.
En construisant successivement et sur les mêmes B.xes les lieux géométriques de ces équations, on reconnaît que les courbes se rencontrent en an ou plusieurs points dont les abscisses représentent les racines réelles de l'équation proposée.
332, Développons ce principe sur l'équation du quatrième degré
(i) x'+a.x'+bx'-\-cx-r- <l^o,
à la construction de laquelle on peut ensuile ramener facilement celle d'une équation du troisième degré.
Nous supposerons d'ailleurs que les coefficients n, b, c, d sont indifféremment des lignes données à priori, ou des nombres. — [Dans le premier cas, il faudrait (13} commencer par rétablir l'homogénéité.]
Cela posé, faisons dans l'équation (i)
elle devient
(3) r^^<,xr + bj^cx^d=--o;
et comme l'équation (i) résulte évidemment de l'éliminatioa de j entre les équations [a) et (3), il s'ensuit qu'elle renferme toutes les valeurs de a; propres à vérifier les équations (i) et (3), en mftme temps que certaines valeurs de^; donc, si par un moyen quelconque on peut obtenir les systèmes de valeurs de a; et de j communs aux équations ( a ) et [ 3 ), en ne tenant compte que de celles de x, ou aura les racines de l'équation [i|.
Or, l'équation (a) étant construite par rapport à des axes que l'on peut supposer, pour plus de simplicité, rectangulaires, représente une parabole dont le premier axe est dirigé suivant l'ase des x [fis- '^7 ); l'origine élant le sommet de la courbe, et qui à i pour paramètre.
Cette courbe est facile à construire.
L'équation (3), étant construite sur les mêmes axes, a pour lieu géométrique une HîPERBOLE dont l'une des asymptotes est parallèle à l'axe des ^(307, i").
Ces deux courbes se coupent généralement en quatre points [puisque Y équation finale (i) est du quatrième degré], dont les coordonnées jouissent exclusivement de la propriéfé de satisfaire en même temps à leurs équations.
Ainsi les abscisses de ces points sont les racines demandées.
IV. ^. — Le nombre des racines réelles de l'équation (i) est égiil au nombre des points d'intersection.
DES îquat: du 3' kt nu 4' degké a. cne inconnue. 363 333. On peut, au moyen de quelques artifices de calcul, remplacer l'équation ( 3 j par une autre plus facile à construire, même par celle d'une circonférence de cercle.
Pour cela, il faut supposer que l'équation (i) ait ét^ prêalahkment débarrassée de son second terme; ce qui est toujours possible d'après la théorie des équations.
Supposons donc l'équation ramenée à la forme
et faisons, comme précédemment, i'éqiiaUon(i) devient
On remarque d'abord que, par ces premières opérations, les lieux géométriques sont deuï PARABOLTis dont la seconde a pour axes principaux deux iiarallèies aux axes coordonnés. Une simple translation d'origine suffirait pour la ramener à la forme
Mais si l'on apiiti: les deux équations (s) et (3), on obtient la nouvelle équation
qui (8S] représente une circonférence de cercle ayant pour coordonnées du centre
D'où l'on voit que /a canstrtwthn des racines de toute équation du ijuotrièine degré peut toujours être ramenée a celle d'ti
33i. Considérons maintenant l'équation du troisième degré Si l'on pose
PROULËME DE L.V
n rosuUo
équation d'une «tpeiibole dont les asymptotes sont [307, 3°) paraUèles aux axes coordonnés, et qui par une simple translation d'origine peut être ramenée à la forme
Mais si l'on veut la remplacer par une circonj'ércnre ilc cercle, on doit commencer par faire évanouir le second terme de l'équation (i), ce qui donne
puis iiiirndmre le fiicleur r, dans cette nouvelle équation; on obLieiil
équation qui n'est plus qu'un cas particii/ier de l'équation du i/iiatrièiw degré, et sur laquelle, par conséquent, on peut opérer de la même ma-
iV. £. — Il est important do remarquer que l'introduction du iacteur ^ dans l'équation donne lieu k une racine x = o, qui est étrangère à la question primitive, et que l'on doit supprimer au résultat.
Nous aurons bientôt occasion de taire plusieurs applications numéri-! /]ites des principes précédents; nous nous bornerons, pour le moment, à résoudre deux questions connues des anciens et ayant pour objet : i" de diviser un angle, OU Varc qui lai sert île mesure, en trois ptuiies égales; 'abe nouBLE d'un cube donné.
Problème de la trisection de l'angle.
333. V/i nrc quelconque AB, de circonférence di: cercle, étant dmné, on propose de le dii'iser en trois parties égales.
N'ous pouvons supposer, pour ne pas trop compliquer la Qgure de construction, que l'are à diviser ait été décrit avec un rayon r, égal à celui des Tables; car, s'il appartenait à une circonférence quelconque ayant pourrayonR, il suffirait de rendre les deux circonférences concentriques i et alors les droites qui, partant du centre, diviseraient l'arc décrit avec le rayon ;■ en trois parties égales, diviseraient aussi, prolongées si cela était nécessaire, en trois parties égales l'arc dé.crit avec le rayon B. "
Cela posé, on a, en Trigonométrie, pour déterminer le sinus du tiers
PBOBLÈ«E ItE Li TRISECTION DE l'an
n fonction du sÎqhs de cet arc, la formule
et que l'on rÉtablisi
iel'homogdncitû,
Soit fait alors
^^..rj;
il en rfsulte
/\xx-ir.r-hr.<---o.
Menons, par le centre 0 du c«rcle donné, deux droites rccmngi/lnircs dont l'une, OX, passe par l'extrémité A de l'arc AB.
L'équation (a) représente une pabaholb dont \' (tcc piinci/jal est dirii^é saivani OY, et dont le pai-amèt?-e est égal h. r\ cette courbe est donc facile à tracer, et elle est figurée par la iigne LOL' tangente en 0 à l'axe
[Pour en déterminer plusieurs points, il suffirait de peser successivc-
r désignant le rayon des Tabies OA, puis do constnùic ces systèmes de valeurs.) Quant à l'équation [ 3 ] , en la résolvant pav rapport à j, on trouve
et d'après ce qui a été dit au n" 307, la courba, qui est une iiïPEr.ui a pour asymptotes les droites
c'est-à-dire l'axe des j et une parallcie FEF' l
366 l'ROIlLÈME DE LA TUESECIION DE l'aNGI.E.
Comme d'ailleurs la courbe passe par le point C pour lequel on a, d'après l'équation (3),
on peut la construire au moyen du procédé établi n" 2S7 ; ce qui donne les deux branches nm'mn', n"m"n"', "La première de ces branches rencontre la parabole LOL', en <ieux points 'H, m'\ la seconde en un seul point m"\ et ces points sont tels, qu'en abaissant mp, m'p/, ni'p" perpendiculaires à OX, on a Op, Op', Op", pour les irois racines de l'équation (i)-
Cela posé, ces valeurs, dont l'une Op" est négaiii'i:, exprimant des sinus, il faut les jmrter sur OY, de 0 en R, R', R", mcnûr ensuite RM, RiM', R'M" parallèles à OX ; et l'on obtient oiifin
