AM, AM', - AM

pour représenter les valeurs dos arcs

que l'on sait être les (roi^ valeurs du. tiers d'un arc dont on donne le sinus. Nous pourrions, comme au a" 334, substituer à l'hyperbole une circonférence de cercle qui serait différente de celle déjà tracée; mais nous préférons faire connaître un autre mojen de résoudre le problème, qui a l'avantage de faire servir le cercle donné, comme un des lieux géométriques.

336. AuTBË MODE PE SOLUTION. — Soient toujours AB [fig. ifi8) ou a l'arc qu'il s'agit de diviser en trois parties égales et qu'on suppose décrit avec le rayon r égal à celui des Tables, AM le tiers de cet arc, supposé connu pour le moment. Faisons d'ailleurs

OP ou coso = c, BP ou sino = .<, OQ = .t, MQ =^ j:

On a, pour première relation,

Maintenant, si l'on prolonge MQ jusqu'à sa roiicuiure en i\ avec la circonférence, que par le point N on mène NR parallèle à OX, jusqu'à sa rencontre en R avec BP prolongé, on obtient ainsi un triangle BNR semblable sm triangle OMQ (car ils ont leurs coiès perpeiiiliculaii-es) ; el i\ en résulte la proportion

OQ:QM::BR;RN.

rnoRLÈME DE LA THiSKCïiOK DE l'angi.e. 2C-J

Mais, par construction,

BU =- .V 4- r, UN = PQ = j- - ,■ ; donc cette proportion devient

d'où l'on dôduit la seconde relation

équation qui, combinas avec {i), donnerait par l'élimination do x la valeur de y ou de ain ■= •

Mais au lieu d'effectuer cette élimination, on peut construire les /ieuj: géométriques qu'elles représentent.

Or le ilea de l'équation (i) est le cercle donné lui-même.

Quant à l'équation (a), elle représente évidemment une hyperbole ÉQUiLATÈRE dont les deux axes sont parallèles aux axes coordonnés.

Pour en obtenir la position , résolvons cette équation par rapport Ay [Jig. iG8); il vient

rx -,- -■

distance

çm--~ -

BP

la ligne GG' parallèle à OX est un diamètre de la courbe, et par conséquent un des axes ohercliés.

On sait d'ailleurs (30-i) que la moitié du coefficient de ,c sous le radical,

pris en signe contraire, ou-i n'est autre chose cpie l'abscisse âace/Hre; donc la ligne HH' menée par le point V, inilieu de OP, et parallèlement à OY, représente l'autre axe.

Maintenant , puisque l'hypertole est éqaUatéiv, il s'ensuit que îes asymplotes divisent en deux parties égales les angles droits HIG', HIG.

Ainsi ces droites sont KK', LL'.

Enfin, il résulte de l'inspection de l'équation [2) que la courbe passe par l'origine, et peut facilement être construite. On obtient ainsi les deux branches MHM', B'H'M".

Ces branches rencontrent la circonférence de cercle en trois points, W, M', M", puis, en un quatrième, B', point où lo sinus BP, prolongé, coupe lui-même la circonférence.

368 PBOBLÈME DE L* TRISECTION DE l' ANGLE.

Discussion. — La position des trûi3 premiers points s'explique facilement. On a

2° Si l'on prend

il on résulte

3° En prenant

d'où

on en déduit

Quant au quatrième point B' dont les coordonnées sont si l'on substitue ces valeurs dans les équations (i) et (i], on obtient

:e qui prouve que ce point doit, en effet, appartenir ans doux courbes. Les équations (i) et^a) ajoutées entre elles, donnent

d'où, substituant cette valeur dans l'équation (i),

équation dont lo premier membre est divisible par r 4- j, et donne poui quotient

Or cotte dernière relation est idcnlique (au caractère do

l'R03LtHË DK LA DUPLICATION DU CUllt. 36ct

près) avec l'équation (i) du numéro précédonl; mais on voit en même temps que, d'après la seconde méthode, on a établi deux équations en .x et/, plus générales que ne le comporte la question proposée, puisqu'en éliminant a: on parvient à l'équation relative à cette question, mais embarrassée d'un facteur étranger.

337. Remarque. — C'est ainsi que l'on doit interpréter cette circonstance, que la détermination des racines d'une équation à une seule inconnue, par des intersections de courbes, donne lieu quelquefois à un plus grand nombie de points communs aux deux courbes, que la i/uestion n'admet de solutions récllus. Les coordonnées de ces points vérifient les deux équations à deux inconnues; mais leurs abscisses peuvent ne pas vérifier la proposée.

Pmblp/ne de la dupUcatiim du cube.

338, ie iiâté d'an cube étant donné, trouver le fêté d'un autre cube DOUBLE du premier.

Soient a le côté du premier cube, x lo c6té du second, on a l'équation

qui, multipliée par x, donne

il en résulte

ot la question se trouve ainsi ramenée à la construction de doux paraboles.

Mais si l'on ajoute les équations [2) et (3) membre à membre, il vient pour nouvelle équation

(41 y-hx'~oj-2ax ==0,

qui peut remplacer inditTéremment l'une d'elles, la première par exemple. Or l'équation (3) représente une parabole ayant son premier axe dirigé suivant AX, et pom paramètre an. Le foyer est en F, milieu de

Soit LAL' (j%. 169) cotte courbe construite d'après les procédés con-

^p. de l'Àt. à !a C. 24