PR0BL131E DE L

rUPLIClTEOS DU CL'

L'équ*

ilion

(4) est uelle dun

cereio

passant par i'.

centre a

pour

cooi données (8b)

r = a - AB, et >- = - = ~ = BO.

Ett décrivant, du point 0 comme centre et avec la distance OA pour rayon, une circonférence, on obtient lo second lieu géométrique.

II est visible que les deux courbes ne peuvent se rencontrer qu'en un seul point M (l'origine doit être rejetée comme provenant de l'introduction du facteur a: dans l'équation primitive) ; et si du point M on abaisse MP perpendiculaire sur AX, l'abscisse AP sera le côté cherché.

339. Remarque. — Le problème de la duplication du cube n'est qu'un cas particulier de celui-ci ;

Trouver deux droites moïbnnbs proportionnelles entre deux droites données «, b.

Appelons x et y les deux lignes demandées, on doit avoir, d'après l'énoncé, la progression par quotient

■■^a\3::y:b, ou plutùt, a; xW^-.r, ^■■. y V.y.b; ce qui donne les deux équations (.) .x'^ay,

(a) r^bx;

d'ofi, en éliminant l'une des inconnues, j-,

et supposant b = a",

La résolution du problème général se réduit. d'ailleurs à la constmction des deux paraboles,

x'=ay, y'=bs^,

■ou bien do l'une d'elles et du cercle

ce qui rentre dans les constructions précédentes.

Détermination, par des intersections de courbes, du. nombre des r. réelles dans tes équations numériques à une seule it.

310. La construction de deux lieux géométriques sur les mêmes axes, ayant fait connaître les longueurs des abscisses de ieurs points d'inter'

NOMBRE D!iS IIAC. UÉELLES B.VKS LES flQUAT, MMÉR. 3^1

seclion, si, pour chaque abscisse, on cherche ensuite, d'après la règle que donne la Géométrie, le rapport numérique de cette longueur à la ligne prise pour unité, on obtient ainsi des valeurs plus ou moins approchées des racines réelles que renferme l'équation résultant de l'élimination de / entre îes équations des deux lieux géométriques.

Mais ce mode d'approximation est loin de valoir, sous le rapport de la rigueur, les méthodes connues de l'analyse algébrique.

Il n'en est pas de même quand il ne s'agit que de fiser le nombre des racines réelles. On sait que cette recherche exige, soit la formation de l'équation aux carrés des différences, soit l'application du théorème de Sturm; or les calculs dans lesquels on se trouve alors entraîné sont f^aveat foi-t taborieua: et même impraticables par leur longueur ; tandis que, le plus communément, on arrive très-vite au' but par la considération des lieua: géométriques.

Donnons quelques exemples.