Premier exemple. — Soit l'équalion

La substitution des nombres o, i, 2, 3,.. ., — i, — s,.--, dans cette équation ne donnant lieu qu'à un seul changement de signe, il faudrait avoir recours soit à Véquation aux différences, soit à l'application du théorème de Sturm,

Faisons usage des lieux géométriques.

Soit posé dans l'équation (0

(3) 2,ij-6.::T-7 = o;

et si l'on construit !ca équations (2) et {3) sur les mêmes axes, les abscisses des points d'intersection de leurs lieux géométriques seront les racines de l'équation (1).

Or le premier lien est une parabole LAL' ayant son axe principal dirigé suivant AY, son sommet en A, et a pour paramétre.

Le second est une hyperbole dont les asymptotes ont pour équations,

j- ^ 3 et .1- = o car l'éqnalion (3) revient à

S-^a IIÉTISRMIÎIATION PAK DES IKTERSECKOSS I)K COURIILS

D'ailleurs, la courbe doit passer par le point C pour lequel on a

J = o, ' = -li

elle est donc facile à construire (237).

Les deux courbes étant tracées, on reconnaît qu'elles ne se rencouirani qu'en un seul point M dont Vabscisse est comprise entre a et 3 [et, en effet, ces deux nombres substitués dans l'équation (i) donnent des résultats de signes contraires^

Ainsi l'équation (i) ne peut avoir qu'u'^e racine rèct/e.

N. B. — Comme les branches négatives des deux courbes sont asse^ rapprochées l'une de Vautre dans le voisinage des points correspondants à / = 1 , on pourrait penser qu'il y a de ce côté qaelqae point d'intersection .

Pour s'en assurer, soit posé

y .-. , .= AS dans les ■'-qualions (a) et (3) ; il vient, pour la première,

et, pour la seconde,

ce qui fait voir que le point N de l'hyperbole est e Deuxième exemple. — Soit l'équation

pour laquelle la substitution des nombres o, i , 3, . . . , — donne que deux changements de signe.

Posons

il en résulte

d'où, en ajoutant ces deux équations,

Les équalions (2) et (3) correspondent ;

r A la parabole LAL' dont i est h paramètre ;

a" A une circonCérenco de cercle GMM'G', dont le

DU HOHBItE DES BAC. RÉELLES DiKS l.ES ÉQUAT. NUMÉn. S'jS

coordonnées

jT=AB= — 4, j-=OB=-, cl qui a pour rayon

Or ces deux courbos n'ont ôvidemmont que les deux points communs M, M', dont les abscisses AP, AP' sont respectivement comprises entre o et i , - a et — 3.

[Et, en effet, l'équation (i) avait été formée par la multiplication des deux facteurs

dont le premier, égalé à zéro, donne lieu à des racines iraaginairfts, et le second aux doux valeurs

Nous pourrions multiplier les exemples; mais ceux qui précèdent suffisent pour montrer la marche qu'il faut suivre tant que l'équation proposée ne surpasse pas le quatrième degré.

Un procédé analogue peut être employé lorsque l'équation est d'un degré supérieur ; mais alors on est conduit à des constructions un peu plus compliquées. Nous prendrons, pour exemple, une équation du sixième degré.

Tmisième exemple. — Soit l'équation

Au lieu de poser x' = y, ce qui donnerait lieu à uno autre équation en X, X du troisième degré, dont la construction présenterait quelques difficultés, on peut faire

Le lieu géométrique de l'équation (a) est uno courbe du troisième degré; mais la construction en est très-simple.

Observons d'abord que les valeurs de ic et de / étant nécessairement ÛB même signe, d'après l'inspection de l'équation, la courbe doit s' étendre indéfiniment à la droite de AY, et au-dessus de l'ase des x, puis à la gauche de AY, mais au-dessous de AX,

3'j4 DÉTEEMIKATION PAII BES INTERSECTIONS BE COURBES

De plus, comme, en remplaçant -+- a:, -h j par — x, — y, on retrouve la môme équation, il s'ensuit (130) que l'origine des coordonnées est le ccniiv de la courbe qui passe d'ailleurs par ce point; car j: = o, j = o vérifient l'équation.

Enfin, si l'on forme le coefficient d'inclinaison de la tangente en un point (x, j), on trouve pour ce coefficient

qui devient ^ o, quand on pose

ce qui démontre (98) que la courbe est tangente à l'axe des a:, en A, origine des coordonnées.

Cela suffit à la rigueur pour donner le sentiment de !a courbe qui affecte la forme

KAK';

mais rien n'eniiiSche de donner à x quelques valeurs, et de construire les valeurs de^ correspondantes. On trouve ainsi :

Pour j;=i:--^AB, r=-=^-^KN, » X = i .-= ki), j = i = DN',

On voit, d'après les valeurs de y correspondantes aux valeurs de x, qu'à partir de a; = i, la courbe s'élève très-rapidement au-dessns de l'axe des.ïT; quant à la /«ïrti'e w/eWeiwe, elle est, comme on l'a vu, symétrique par rapport à la partie supérieure.

Occupons-nous maintenant de l'équation (3) pour laquelle on a onUc les coefficients (296) la relation

et qui, par conséquent, est celle d'une ellipse. Cette équation, résolue par rapport à j, donne

d'où l'on voit i

1° Que j- = .c — 1 , ou DD', e;

DU KOMDBE DES KAC. RÉELLES BiNB LES ÉQUAT. KliBlÉB. SyS^

a" Que les limites (ie la courbe dans le sens des x sont

valeurs tirées de l'équation

îlles sont représentées sur la figuro par DL, D'L'. Après avoir déterminé ses points d'intersection avec les axes,

l/ = o, x = i, x = --^ puis, x^o, j--

bl/3),

et le diamètre II' conjugué du diamètre DD', comme on l'a fait au n" 303, on obtient l'ellipse DIDTD, qui n'a évidemment que dcii.r. points communs avec KAK'.

Ainsi, l'équation n'a que deux racines réelles, l'une positive et comprise entre o et i , l'autre négative et comprise entre — i et — 2,

On peut s'exercer sur les équations

x^-~ 3.r^+ ?..t — 4 = 0, .r'— ^x'' -^ 5x — ii = 0;

et l'on reconnaîtra que chacune d'elles n'a qu 1 nt Kule ratme léelle.

342. Première remarque. — Lorsque l'équitirn prop'ïw renferme des racines égales, on en est averti par le contact des courbes en un ou plusieurs points. Or on sait que les méthodes d approximation de l'analyse algébrique ne peuvent, en général, s'appliquer à ces sortes d équations qu'après que l'on a d'abord ramené leur résolution \ celle d lutres équations dont les racines sont inégales ; opération'; sou\cnt labor euses,

âi3. Seconde remarque. — L'équation

dont on a fait usage dans le troisième exemple, est un cas particulier de l'équalion

qui étant construite pour toutes les valeurs attribuées aux coefficients n, 6, c,d,..., et suivant le terme auquel on arrête la série, conduit à des lieux géométriques désignés génériquement sous ia dénomination do courbes paraboliques.

Ainsi

r=a^bx+c,:'

yGoosle

376 PROIlLtWES SUB LES LIEUX GÉOJI ÉTHIQUES

ost Tiiquatioii do la jinrabole ordinaire; et

est un cos particulier de l'équation des paraboles cubiques ou du trni-

Les géomètres ont encore tiré parti de la construction de ces courbes, pour expliquer les principes fondamentaux de la résolution des équations numériques. [ CoiisuUer, à ce sujet, XJlgébre de M. Garnier,)

Problèmes sur les lieux géométriques, se riipportaiit aux cowlirs <lu second degré.

Les questions suivantes ont surtout pour objet de faire connaître cerlainos propriétés des courbes du second degré, qui n'ont pu trouver place dans le développement de leur théorie,

3i4. Fbenier pboblèmb. — Une ellipse ou une hyperbole étant donnée, nn demande le lieu où se rencontrent deux tangentes perpendiculaires entre elles, quelle que soit la position de la première tangente.

Considérons d'abord une ellipse, rapportée à son centre et à ses axes,

et désignons par x', y' les coordonnées du point de contact de la première tangente, par x", y' celles qui se rapportent à la seconde. On a, pour fixer la position de ces deux tangentes, les systèmes d'équations

(0 Âyyy- + Vxx'= A'B=, A'/'" + Fj;'= = A'B^

(a) A>y -1- Wxx''= A=B', k'y" -4- B'^:"' = Â'B'.

De plus, comme ces droites sont supposées perpendiculaires l'une à l'autro, il faut (64) y joindre la relation

ou simplifiant,

(3) Ay.|-+D'x'.,- = „.

Ces cinq équations devant exister simultanément pour îe pomt c. aux deux droites, il s'ensuit (HO) que, si l'on élimine les quanf tts x', j-',x',x° qu' varient d'une position de chaque couple de tangentes ci l'autre, l'équation résultante, en x et en j-, devra être ei^alement itI sfaite par les coordonnéesde ce point commun, et sera, par c ïs |ucnt 1 iquation du lieu géométrique demandé.

SE BAPPORTANT AUX COUHBES BU SHCOND DEGISÉ. J77

La première des équations (i) donne

d'où, substituant dans la seconde et réduisant,

(4) (AV-^B'^').'^'"-aA'B'.r^'+AMB'-j=) = o.

Par un simple échange de A, x, x' en B, j, j', on trouverait, à causa de la symétrie des équations (i),

(51 (AV'+B'x')r'''-aA=B=j7' + BMA'-,>:=) = o;

et la résolution des équations (4) et (5) ferait connaître séparément x' et/' : mais il est facile de voir que ces deux opérations sont inutiles.

En effet, remarquons que les équations (a) ne diSêrent des équations (i) qu'en ce que ^ et j° remplacent j' et /' ; donc, si l'on voulait déterminer;);'',/", au lieu de a:',/', on retomberait sur les équations (4} et (5); seulement les caractères des inconnues seraient cbangés.

Il résulte de là nécessairement que l'équation (4) a pour ses deux racines la valeur de x' et celle de ^".

Même raisonnement pour les valeurs de /', /".

Or on sait que le dernier terme de toute équation du second degré à une seuîe inconnue, divisé par le coefficient du premier terme , est égal au produit des deux racines.

On a donc les nouvelles relations

et si l'on substitue ces valeurs de x'x\ y'y", dans l'équation de condition (3), on obtient, toute réduction faite,

x'-(-r' = A=-4-BS

équation qui, ne renfermant plus que x, /, n'est autre, d'après ce qui a été dit ci-dessus, que l'équation du lieu géométrique cherché.

N. B. — Qa arrive au môme résultat, d'une maniire plus simple, en substituant aux coordonnées .ï',/' et ^c",/" des points de contact, les coefficients d'inclinaison m et m' des doux tangentes.

Il rcBulle, en effet, de ce qui a été dit au n° 19S, que les équations des