PROBLÈMES SUR LES LIEUX GÉOMÉTRIQUES
deux tangentes peuvent être mises sous la tonne (I) r = mx±^&'m'^-h\
et comme ces droites doivent être perpendiculaircis entre elles, on a entre m et m' la relation
Ces trois équations doivent exister simultanément pour le point de rencontre des deux tangentes; donc l'équation résultant de l'élimination des quantités m et m' conviendra également à ce point, et sera celle du lieu géométrique cherché.
Or, si, en ne considérant que l'équation [i), on chasse le radical, et qu'après avoir effectué les calculs, on ordonne par rapport à m, on trouve
Comme l'équation (a) ne diffère de {i] que par te caractère de l'inconnue m' au lieu de m, on doit conclure que l'équation (4) a pour racines les deux valeurs de m et de »'', et, par suite, fiue .,~ , est écal au produit de ces deux valeurs.
On a donc la nouvelle relation
A.' — ^' (Yoù, substituant dans la relation (3), et chassant le dénominateur,
comme ci-dessus.
Pour résoudre la mémo question à l'égard de l'iivrEtiBOLis, il suOit de changer B' en — B' ; ce qui donne, pour l'équation finale, .î' + j-== A'-B=.
343. Discussion, — L'équation à laquelle on est parvenu pour I'ellipse montre que, dans cette courbe, le lieu géométrique des points de rencontre de chaque couple de tangente perpendiculaires l'une à l'autre est une circonférence de cercle concentrique aaec la courbe, et ayant pour rayon la diagonale du rectangle construit sur les demi-axes.
Si l'on suppose A = B , auquel cas la courbe donnée est un cercle, le lieu géométrique est un autre cercle dont le rayon A \/a est la demidiagonale du. CABRÉ CIRCONSCRIT au cercle donné.
• AUX COURBES DU SKCOflD EElîKÈ. 3';9
Pour I'hyperbole, le lieu géométrique est une circnnférenee ite cercle, concentrique avec la courbe, et ayant pour rayon un côté de l'angle droit d'un triangle rectangle construit sur la moitié du, premier axe pour hypoténuse et Faiitre demi-axe pour autre côté de l'ange droit.
Dans le cas de A = B, c'est-à-dire d'une hyperbole équilatère, le rayon devient md, et l'équation
qu'on obtient, ne pouvant être satisfaite que par
il s'ensuit que le lieu géométrique se réduit à un point qui est le centre même de la courbe.
Donc, dans l'hyperbole équilatère, il ne peut y avoir ijic'vn seul couple de tangentes perpendiculaires ; et ce sont les asymptotes.
Enlîn, si l'on a A < B, ou le premier axe moindre que le second, l'expression du rayon du cercle trouvé pour lieu géométrique est une quantité imaginaire; ce qui veut dire que, dans ce cas, il ne saurait exister aucun couple de tangentes perpendiculaires.
Il suEt d'avoir le sentiment de la courbe appelée hyperbole pour se rendre compte de ces circonstances qu'offre le calcul. ,
Nous pourrions nous proposer la même question par rapport à la para- Iml , mTJs elle n est qu un cas particulier de la question suivante,
3^6 Second problèub — Une parabole étant donnée, on demande le be ou se rencontrent deux tangentes quilronque^ assujetties à faite
i e elle n angle donne
Eenarq ons d abord que, si m désigne le coefficient angulaire d'une ttn^e te ,y' étant les coordonnées du point de contact, on a [W^\ les reh ons
On Lire do la prumiôro, d'où, substituant dans la Iroisiemu,
et reportant ces valeurs de x',y' dans la seconde.
lio rnouLÈJiES scu les lieux géomètbiques
i bien encore
C'est la forme que l'on peut donner à l'équation d'une tangente à la parabole, quand on donne son coefficient d'inclinaison, ou qu'elle doit être parallèle à une ligne donnée. [Voir, à ce sujet, ce qui a été dit pour l'ellipse, au n" 19S.)
Cela posé, revenons à la question, et appelons m, m' les coefficients des deux tangentes; les équations de ces droites sont
Soit d'ailleurs V l'angle donné qu'elles doivent fonner entre elles ; on 3 (62) pour relation entre les quantités tangV, /«, m',
(3) tangV = -'-"-^-— , ,
et l'élimination de m, m' entre ces trois Équations conduira à une équation en x,y, qui sera l'équation du lieu géimiét/irjm: cherché. L'équation (i), ordonnée par rapport à ni'; devient
et a pour racinrs les deux valeurs de /", m', à cause do la symétrie des équations [[) et (a).
On en déduit
par suite
yy^-
valeurs dans la relation (3), on obtient
SE llAPPOnTANT AUX COUilBES DU SKCOND TlKGlir;, 31 1
ou, cliassaiit le radical et ordonnant,
/'-- jr'tang'V— /'[■i-i- tang'V) J' — ■i;-tang'V=: o.
Telle est l'équation du lieu géométrique demandé.
Ce lifiu est une hyperbole dont les a3:es principaux sont ptirallèScs aux axes primitifs, puisque l'équation est privée du terme en ^ ; le centre de la courbe est d'ailleurs placé sur l'axe des œ, le terme en 7 manquant.
Nous n'insisterons pas sur la construction de cette courbe, ce qui n'offrirait aucun intérêt.
Mais nous chercherons ce que devient l'équation lorsque Von suppose les deus tangentes à angle tlmii.
Pour cela, il faut diviser tous les termes de cette équaUon par lang'V, ce qui donne
■toïïi^ - •^' - ti;;^'^ ~!'x-j==o, équation qui, pour tangV infini, se réduit à
ce qui fait voir (IBl) que le lieu giiométrique est, dans co cas, la iliii:ctrice de la parabole.
La.direotrjce dip bljuitdnd ttp[ te emarquable, que, si, de cha n d / l à la courbe,
ces droites so p 1 l ta II e 1 1 it d'ailleurs
iacile de démont éom t q m nt
iV. £. — Si 1 lait é ud la q t n q f t l'objet de ce
numéro, pour les d b d d d arriverait à
une équation d q t en d é n t t d que le lieu
géométrique sera t b d / l
On peut sep po-* tt qu t n mme d Icul.
3i7, Troisième puobièue. — Par un point quelconque pris sur le plan d'une parabole, on propose de mener une normale à la courbe.
Ce problème oifre un véritable intérêt sous le rapport de la discussion des résultats.
Soient a, ê les coordonnées d'un point quelconque situé sur le plan de la parabole
l'équalion d'une droite assïijeliie à passer par lo point («, ê) est de la
forme
et si l'on veutqueceltedroitesoitperpendiciilaireùla tangeiitoaycnt j;',j' pour coordonnées du point de contact, il faut (0-4 et 2G-i) que l'on ait lu relation
CB qui donne, ])Our l'éqiiation do la normale correspondant à ce poin
y' étant une inconnue qu'il s'agit de trouver.
On a, pour cela, les deux relations (a) y^ = ïp-T- ,
dont la première exprime que le point {3^' ■,y'\ se trouve sur la courbe, et la seconde, que la normale doit passer par ce même point. On déduit de l'équation (2}
d'où, substituant dans l'équation [3] et ordonnant par rapport a.r, - (4) J" -I- ■i'PKp - «1^' - a V --= ",
équation qui, résolue , ferait connaître j', dont il sufBrait de porter ensuite les valeurs dans l'équation (i) pour obtenir la normale demandée.
Comme l'équation (4) est du troisième degré, on est en droit de conclure Cju'en général, par un point donné de posiliun dans le plan d'une parabole, on peut mener trois normales a cette coui-be.
Cette équation ne pouvant être résolue immédiatement et sans que ]'on donne à p, «, ê des valeurs namériques particulières, rien n'empêche, pour fixer la position de chaque point de contact, de substituer à sa résolution la construction des équations (a) et (3) dont elle est Xéquuiion
Or la courbe qui correspond à ( 2 ) est la parabole déjà tracée. L'équation ( 3), ramenée à la forme
fx'-i-[p — a)y'-èp = o, d'où /' = o + ^T-p^---^,
représente (307 ] une hyperbole ayant pour asyraptotJis y' — o, ou l'ase des a-, et
SE RSPFOIITAKT AUX COURBES DU SECOSU DEGRÉ. 2S'i
c'est-à-dire ima parallèle à l'axe des y, menée à la distance « — /) de l'origine.
Cette courbe, passant d'ailleurs par lo point
pourrait (257) être facilement constriiito.
3i8. Discussion de l'équation (4). — L'Algèbre nous apprend que, dans toute équation du troisième degré ramenée à la forme
,r' + px + r/ ^ o,
c'esl-à-diro privée du second terme, suivant que l'on a
4 -^1 les trois racines sont réelles et inégales, ou deux des racines sont i-éelles Hégales à la moitié de ia troisième prise en signe contraire, ou bien une seule des racines est réelle.
Cela posé, considérons une parabole quelconque LAL' (Jig. lyZ) représentée par l'équation
r'' -. -zpj:.
Soit F le foyer ; et prenons une distance
A0 = -ikV -p.
Pour que le problème proposé admette trois solutions, c'est-à-diro pour que l'équation (4)
y" -h upip — x)x' — 2^p' = o,
ait ses trois racines rÈollcs, il faut, d'après ce qui vient d'Élre dit, que l'on ait
ou, supprimant le facteur p^,
ou bien,
Or ces deux conditions exigent, en premier lieu, p étant par sa nature un nombre absolu, que l'abscisse a soit plus grande que p, ou au moins égale à /).
3S4 rnoBi.iiMEs sur lus lieux géométriques
Si l'on fuit a — /) = AOdans l'équation [41, elle se réduit
équation du troisième degré à deu^ termes, qui, comme l'on sait, ne peut avoir qu'une seule racine réelle.
Donc, en second lieu, on ne saurait mener du point 0 qu'«/?e seule normale, laquelle passe d'ailleurs par l'origine; car, en posant a — /j dans la relation (6), on trouve
Je dis actuellement que les coordonnées ê et « pouvant Ctro considérées comme deux variables dont, les valeurs changent avec la position donnée au point par lequel ou veut mener une normale, si l'on construit le lieu exprimé par l'équation (6), ou
•^71' ce liou sera une limite de séparation entre les points par chacun desquels on peut mener trois normales, et îcs points par lesquels on ne peut en mener qn'une seule.
En effet, il est évident que si, pour une ordonnée de ce lieu géométrique supposé construit, on a
pour une ordonnée 6' plus grande que S, et correspondant à la mémo valeur de «, on doit avoir
ce qui est la condition d'i<«(/ jcu/e normale; qu'au contraire, pour une ordonnée ê" moindre que S et correspondant à la mémo abscisse, on doit avoir
condition relative à l'existence de troU normales passant pur le point donné.
Il résulte d'ailleurs des principes rappelés au commencement de celte discussion, que, potir chacun des points de la ligne à construire, deux des trois normales doivent se confondre; en sorte qu'à proprement parler, il ne peut exister que deux normales passant par ce point.
Construisons donc ce lieu géométrique.
