AO
ce qui fait voir que la courbe doit rencontrer le cercle aux extrémités du diamètre NN' perpendiculaire à l'axe des œ.
On reconnaît enfin que plus x augmente en se rapprochant de ii\ plus ie dénominateur de la valeur de y' diminue, tandis que le numérateur augmente de plus en plus ; donc la courbe se rapproche sans cesse et indéfiiûmcnt de IBI', qui est, par conséquent, une asymptote.
Au delà de j.-^a/-^ AE, la valeur de j- devient wi/^g-wm'/v.
Coiichoïdc de Kicomède.
3j1. An n&miire des courbes algébriques, on distinguo encore la cou-
CONCHOÏBK ME NICOHktiE. ^fi'^
e/wï/le de Nicomedb dont il existe également une déQnition giîomctrique que nous allons énoncer.
On donne une droite indéfinie LL' (/%■. 175 j, et un point A dont la distance AB à LL' est égale à «ne ligne connue a. Si du point A, on mène une divite quekomiun AH, que sur cette nouvelle droite et à partir du [«tint D, où elle rencontre la première LL', on prenne une distance DM égale à une seconde ligne connue b, on demande le lieu du point M pour toutes les positions que l'on peut donner à la droite AH.
Comme rien n'empêche de porter la distance 6 de D en M', au lieu de la porter de D eu M, il résulte évidemment de la définition précédente, que la courbe cherchée se compose de deux branches distinctes qui s'étendent indéfiniment à droite et ù gauche de la perpenditulaire AK abaissée du point A sur LL', et ont pour asymptote commune la droite LL'.
La construction de cette courbe, qui n'offre aucune difficulté, a quelque analogie avec celle de l'hyperbole, quand on donne les asymptotes et an poim.
Pour former son équation algébrique, prenons pour axe des a: la droite LL', et pour âne des / la perpendiculaire AK ; l'origine des coordonnées est Elora en B.
Posons
AB = o, BC = b, BP =^-- -r. MP = .)-;
prolongeons d'ailleurs l'ordonnée MP jusqu'à sa rencontre on R avec une parallèle II' à LL', menée par le point A. tes deus triangles semblables AlIB, DMP, donnent
AM:MD::MR:MP ou m:h\\a+j:y; d'où l'on déduit
Ml„'""-'-'.
D'un autre cûté, on a, d'après le triangle AMIt,
Âïi' = AÏt + MR' = x'-\- la + r)=;
équation du quatrième degré en j, mais du deuxicmc degré ei! x, et à deux termes; ce qui prouve que la cwurbe est symétrique par ra[jport à l'axe des /.
Sgo coNCnoÏDE de nigomède.
Discussion. ~- Soit fait
ràsullat conforme à ce qui a été dit plus liaut, que LL' est une nsymptntr. Pour x.^0, l'équation devient
(i=— .r')[rt-!-j)' = o; d'où j = ±-h, j = — «.
Les deux premières valeurs -t- 6 et — fi donnent les points C ot C ; es qui doit être ; mais la troisième, qui semble donner le point A pour un point de la courbe, a besoin d'Être interprétée.
Or il résulte de la déflnitiou que la branche inférieure peut avoir son point de départ entre les points B et A, en C, ou sur le prolongemeni de BA, ou bien se confondre avec le point A, suivant que l'on a /'<«, !>>,/, h^a.
Dans le second cas, il est visible que la courbe doit avoir une espèce de boucle (fig.i-j^), analogue à celle du falium de Descaotes (317, 3' exemple).
Quant ail troisième cas, puisque pour a- = o on a
ces deux valeurs deviennent identiques quand on suppose les deux distances f) et 6 égales entre elles, et l'on a alors le point A pour point de départ de la seconde branche.
Voilà pourquoi y = — a peut être admis comme solution ■- elle n'est véritablement étrangère que dans les deux autres hypothèses : h<<,, b>a.
L'équation polaire de la courbe est assez remarquable par sa simplicité. Prenons le point A (/g-. lyS) pour pôle ot la droite AK pour iixc
Lo triangle rectangle ABD donne
AB = AD.coslîAD, ou rt = AD.cosv; d'où
An ^- — - j et AM = AD -f- i ----- -^ -H b.
eos^ 0OS9
Il vient donc pour l'équation polaire
la longueur h pouvant Être considérée avec le double sigi.
COKCnoÏDE
n fait dans cette équation
ce qui donne C et G' comme points de la courbe. Pour y = 90°, on a
et le rayon vecteur devient parallèle à LL'.
De cette équation polaire, il est facile de déduire l'équation pureraenl algébrique obtenue précédemment.
Le triangle rectangle ARM donne d'abord
AM = VarV MH -^ VëpV (pM + PR)';
Puis on a, d'après le trianglo DPM,
PM = DM.cosDMP- Ècosip; d'où cosci-^^''t-
Ainsi réqnation polaire devient par la substitution des valeurs de p cl de cos?,
d'où, élevant au carré et transposant,
c'est l'équation algébrique qu'on avait obtenue directement (").
e son Histoire des Mathématiques, 1. 1, p. 254 ei expose on moyen de construii'e cette courbe d'nn mouvement corei fait donnaitre l'application ù la construction des deuK problèmes d tien de l'angle, et de la duplication du cube. {Voir les n" 335 et bu
392 1»ES COlitlDES DU SECONC PEGIIÛ, SEJIBI.ÀBLES,
§ 111. — Des courbes du sncoND degré semblables. — Identité des COURBES DU SECOND degré AVEC LES SECTIONS PLANES d'un cône droit ou d'un cône oblioue a base circulaire. — Des sections conioues SEiiBLAiti.ES. — De la section ptanb dans dn cylindre droit ou
