OBLIQUE A BASE CIRCULAIRE

Des courbes du second degi'é semblables.

382. Deux ellipses ou deux hyperboles sont dites semblables, lorsqu'elles ont leurs axes proportionnels.

Ainsi, soient A et B les demi-oxes d'une première ellipse, n et i ceus d'une seconde ellipse ; elles sont semblables si l'on a la proportion A:B:;(i:6, ou k:a::^:b.

Cette dénomination vient de ce que les deux courbes jouissent alors des mêmes propriétés que les figures semblables considérfes en Géométrie, ainsi que nous allons le démontrer.

Ellipses. — Pour faciliter le développement des diverses propositions, nous supposerons les courbes placées l'une sur l'autre de manière qu'elles soient concentriques, et que leurs axes aient la même direction.

Soient donc deux ellipses pour lesquelles OÂ, 0« {fig< 178) désignent les moiiiés des grands axes, et OC, Oc les moitiés des seconds.

1° Si l'on tire les cordes AC, ac, elles seront nécessairement parallèles, et l'on aura la suite de rapports égaux (1) kC:ac::A:a::Ji:h.

3" Considérons une ligne quelconque OL menée par le centre, et appelons D, rf, les (fe«;i-t;m«(rf;refOM,Om; y, X, les coordonnées du point M; y, a:, celles du point m.

Puisque les trois points 0, m, M sont en ligne droite, on a la nouvelle suite de rapports égaux

et comme les points M, m appartiennent aux deux courbes, on a aussi les doux relations

a ou, a cause de - — - 1

Di:s C0URRK5 nu SEroxn bkghé semblables. 3^3

donc

X'-.j.-'-.uV-K'-.a'—x'ce qui donne

n^X' -■ AV.", par suite,

Par conséquent

3° Soient F et / les foyers de droite dans les deux courlies, et dfeignons par C, c les distances OF, 0/; puis menons les rayons vecteurs FM = R,

d'où l'on déduit, à cause de -j = -;

C:c::A:«; et les triangles OMF, 0/»/, qui sont alors n&essai renient semblables, donnent aussi

(3) FM://« ou R:/-::C:r::A:fl.

4° Aux points M, m, menons ies tangentes MR, inr; ces tangentes sont p/irnllèles, car leurs coefficients d'ineliimiiim, B^ X b^x A" Y ' «■ y

sont égaux en vertu des relations priîcédemment élabiies,

d'où l'on voit que les distances OH, Or, et, par suite, les sous-tangentes et les sous-normales qui correspondent aux points SI, m sont aussi dans le rapport

(4) D:d ou k:<,.

5° Puisque les tangentes MB, inr sont parallèles, il s'ensuit que les deux diamfetres conjugués des diamètres Oîl, 0;", doivent avoir une mcme direction.

Soient donc ON, 0« ces deux diamètres ; comme, en vertu do ce qui a été dit plus haut, on a