COURBES
DU SECON
D DEGRft
semblable:
et que, d'ailleui
OM
■.Om
il en
résulte
OM
On,
ou
A' et B', ci été' désignant respectivement deux dtmi-dinm'i}!,i miijugut^s pour chaque ellipse.
6° Enfin tirons une autre droite quelconque OL' qui rencontre les deux courbes aux points M', m', et menons les cordes M^(', mm'
Les triangles OMM', Gmm' sont semblables nommp ayjnt un angle
égal, 0, compris entre côtés proportionnels, et donnent, par conséquent,
W&':mm':\k:a.
Concevons maintenant qu'on ait inscrit aus ellipses deux polygones dont les sommets soient deux à detix en ligne droite avec le centre; il suit de ce qu'on vient de dire, que ces polygones ont leurs côtés parallèles et respectivement proportionnels; donc ils sont seinhlabîes.
Ainsi les contours de ces polygones sont proportionnels aux demi-axes des deux ellipses, et leurs surfaces sont entre elles comme les carrés ds ces demi-a^es.
Ces deux résultats étant vrais quel que soit lo nomlire des côtés des polygones, le sont encore à la limiie.
Donc les contours E, e des deux ellipses sont entre eux dans le rapport des deux axes, et leurs surfaces S et ^ dans lo rapport dos carrés de ces méroes lignes; c'esirà-dire que l'on a (6) E:c:;A:fl, s : -■ : : A' >/'.
On pourrait multiplier indéQniment les conséquences qui résultent do la proportionnalité des axes; mais celles qui viennent d'élre développées suffisent pour établir que ces ellipses ont tous leurs éléments Jiomoîogues proportionnels à ces axes s'ils sont linéaires, ou dans le même rapport que les carrés des axes s'ils sont superficiels.
Les mômes propriétés s'appliquent à I'hypeubole et se démontreraient de la même manière.
Mais on voit, en outre, immédiatement : i" que deux hyperboles semblables dont los axes ont lit même direction, ont aussi les mêmes asymptotes; a" C[n& deux hyperboles éqailatércs sont toujours semblables, piisque les rapports -^ ! - sont identiques et égaux à i.
353. Deux pababolbs quelconques sont \,oxi\o\).t6àss figures semblables, parce qu'ainsi que nous allons le faire voir, leurs éléments homologues
SECOND DEGRÉ SEMBIABLES. SgS
sont proportionnels, et dans le rapport des paramélres si ces éléments sont linéaires, on dans le rapport des carrés de ces paramètres s'il s'agit de surfaces.
La proposition est déjà évident* pour les (îistances des foyers et des directrices aux sommets respectifs des deux paraholes, puisque aP, ip
désignant les paramètres, les expressions de ces distances sont - P, ~p.
Pour mieux !a faire ressortir à l'égard des autres éléments, concevons que les denx courbes soient placées l'une sur l'autre, de manière à avoir même sommet A et même axe principal AX.
Soient V,f[fig. 179) les doux foyers pour lesquels on a
S.) AF:A/::P:y,.
Cela posé, tirons une droite quelconque AL, qui rencontre les courbes en M, m ; abaissons les ordonnées MP = Y, mp = j, qui correspondent aux abscisses AP = X, k.p = j' ; et menons les rayons vecteurs MF = B, mf= r.
Les triangles AMP, kmp sont semblables et donnent
(a) AM:Am::V::f ::X:.r;
mais les équations des deux courbes
Y'-aPX, y'^-'Lp.^ reviennent ii
d'où l'on conclut, à cause de la relation (2),
aP ^p ., P y X
-^ = -i-1 par suite, - = — -■ —• Y j ' ' p y X
On a donc aussi
(3) AM:Am::T:j::X:.ï'::P:/>.
De celte dernière suite et do la proportion (i) on déduit
AM:Anj::AF:A/; ainsi les deux triangles AMF, An;/ sont eux-mûmes semblables et donnent
(4) AM:Am-.;MF:/H/;:AF:A/:-.P:/..
Les sous-tangentei èlsht (2fi4) doulles des abscisses des points de contact M. ;h, sont aussi dans le rapjwrt des paramélres.
3Ç)G lUEPiTlTli DES COURBES DU SKCOM) nSGRË
Ce même rapport esisle évidemment pour les sous-normaks dont les expressions sont (26S) respectivement P et p.
Enfmsi, cofûme on l'a tait pour l'ellipse (352, 6"), on mène une seconde sécante quelconque- AL', et que l'on tire les cordes MM', mm\ elles sont nécessairement parallèles, et l'on arrivera à la conséquence que les aires des surfaces comprises entre les droites AM, Ani et les portions de courbes correspondantes, sont proportionnelles aux carrés des paramètres.
La proposition est donc complètement démontrée.
3Si. Eemakqkë srti les paramètres dans les courbes en général. — On se rend compte de la propriété dont jouissent les paraboles d'être tout*is sembhihles, par cttcodét qlntdsl eq simpliRée qu'une seide c né ahamè iie
Dans l'ellipse et l'hyp b d t 1 dq t n pi fié f t
deux constantes A, B, 1 t ece p q les co b d raêm
genre soient semblables qu ces ta t ^P P "
Ce n'est que par anal 1 p rab 1 q dé 1
de paramètre dans l'ellipse et l'hyperbole la quantité — ,— ; mais dans les questions de haute analyse, on est généralement convenu d'appeler paramètre les constanles dont nous venons de parier, en tant que leur connaissance est nécessaire et suffisante pour que la courbe soit complètement déterminée.
Il ne suffit pas que les longueurs des deux diamètres conjugués d'une oUipse, par exemple, soient connues pour que la courbe puisse être tracée ; il faut encore donner l'angle qu'ils font entre eus. Ainsi ces longueurs ne peuvent être considérées comme des paramètres qu'autant que l'on y joint une troisième donnée.
n en serait de même si l'on donnait le paramètre •i.p' pour un système A'axes conjugués dans une parabole sans donner en même temps l'angle
Identité des courbes du second degré ai'ec les sections planes d'un CÔNE DKOIT OU d'un CÔ.NE OBLIQUE à base circulaire.
333. L'intersection d'un cône droit ou oblique, à base circulaire, par un plan, donne lieu aux trois courbes du second degré, ou à une de leurs variétés, suivant la position du plan, et ce sont les seides lignes que l'on puisse obtenir; ce qui a fait donner à ces courbes le nom de sections coniques.
Soient d'abord SADBE (/g-. iSii) un cône drmt, SC son axe, CU le
ET DES SEGTiOKS l-OMCLCS, 397
rayon de la bpse, LL' la tracR du plan d'inlersaclion [appelé plan sécant) sur celui de la base, et OMO'M' la courbe diiiloisoction dont il s'agit du trouver la nature.
Chercbons l'équation de cette ligne.
A cet effet, abaissons, du centre G de îa base, CG perpendiculairo sur LL' ; puis, par CG et SC, conduisons un nouveau plan, dit plnn jirinci/wf/ [ on donne ce nom à tout plan passant par l'axe du cûne); son intersection avec le plan sécant est une droite GOX perpendiculaire à LL', en vertu d'un théorème connu de Géométrie.
C'est cette droite OX que nous prendrons pour axe des a-; et celui des i sera OY, ou la perpendiculaire élevée par le point 0 à GX dans le plan de la courbe (la ligne OY est alors parallèle à LL').
Si, par un point quelconque P de OX, on conçoit un plan parallèle h la base, la Géométrie noua apprend que son intersection avec le cÔne est un cercle. Ce même plan coupe le plan principal suivant lïï parallèle à AB, le plan sécant suivant une droite MPM' parallèle à LL', et par conséquent à OY; en sorte que MPM' est à la fois perpendiculaire sur GX et sur m.
Cela posé, f.iisons
OV = .x, MP=r, S0-=o, angSOX = a, angASB ou OSO' =:i: S, d'où ASC----f'.
Comme JSIP, ordonnée de la courbe, est en même temps une ordonné-' du cercle, on a, d'après un théorème de Géométrie,
11) j'=IPxPIÎ;
et la question est ranience à exprimer IP, PII en fonction de ^ et des données S, h et a.
Or le triangle OPI domio
IP:OP::sinlOP:5in01P,
sinIOP--;sinSOX-= sin^.,
2gB IDENTITÉ DES COURBES SD SECOND DMGnË
Afin d'obtenir PH, cterchons d'abord la valeur de 00' et de PO'. On a, d'après le triangle SOO',
O0'.:so::sinoso':sjn00's, ou oo':fl::sine:sm(a + s); d'où
00*^ sinïg'+gr par suite, PO'.^ .^.^ "^^-|.- ::^
5Iais le triangle PO'H donne
PII:PO'::sinPO'H:sinPIIff,
donc
Substituant les valeurs de IP et do PH dans l'équation (i}, on obtient on (in
cos-@ cos-S
(a) t'-— ^- [usina sinÈ..E-sm;!sin(H-i-6),r]
cos'-^3
pour l'équation gônûraîe des sections conique-:.
Cette équation étant du second degré, il s'ensuit que toutes las sections coniques sont des courbes du second degré.
Discussion. — Si l'on compare l'équation (a] à l'équation aux trois courbes du second degré [HQ],
après y avoir remplacé sinS par sa valeur a sin- oosS - 6, on i deux relations
' K— sinasinfa-^-êl
Or cos'-â est ossentiellement /joîiïi/, et sina peut, comme nous allons le voir, être lui-même supposé positif; en sorte que le signe du coefficient de x', et par suite le genre de la courbe, ne dépend que du signe de sin(a -4- ê) ; d'où il résulte que cette courbe est une ellipse, une parabole
El i>ES siiCTiofiS CONIQUES. Sgg
ou une hyperbole, suivant que l'on a
mn[^ + S] positif, nul ou nég^ilf, a + S < 180°, a -f- 3 = 180°, a + ê > 180°.
Traduisons ces résultats géométiiquement : 1° La condition
signiSe que la droite OS, intersection du plan sécant et du plan principal, rencontre les deux génératrices opposées SA, SB d'im mfime côté du sommet S; et l'on obtient alors une courbe rentrante et fermée OMO'M'O ; c'est une ellipse qui devient un cei-cle, lorsque le plan sécant a une position parallèle an plan de la base.
a-r-Cir= [So-,
c'est dire que la droite OX (Jîg. iSi) est parallèle à la génératrice SB; donc le plan sécant est lui-même parallèle à cette génératrice , ou ne la rencontre qu'à Vinfini, auquel cas on a une courbe indéfinie dans le sens OX ; c'est une parabole FOE, la trace du plan sécant étant LEGFL', 3° EnRn l'hypotlièso
correspond au cas où la droite OX [fig. 182) va rencontrer la génératrice SB sur son prolongement en O'; c'est-à-dire qu'alors le plan sécant coupe les deus nappes de la surface conique, et détermine une courbe e deus branches indéfinies et opposés l'une à l'autre : c'est une E ayant 00' pour premier axe.
Quant aus variétés des trois genres de courbes du second degré, on les obtient successivement en supposant que le plan sécant passant par la génératrice SA [fig. 180, 181, i8a), et ayant d'abord pour trace sur le plan de la base la tangente au point A menée à cette base, tourne autour du point 0, de manière que l'angle SOX prenne toutes les valeurs ;wî- .iièto depuis îero jusqu'à i8o degrés.
Si ce plan venait à continuer son mouvement autour du point 0, et dans le même sens, i! reprendrait évidemment ies mômes positions qu'auparavant, et, par suite, reproduirait les diiférentes courbes déjà obtenues. Ce nouveau mouvement devient donc inutile, et, par conséquent, siuk peut toujours être considéré comme positif, ainsi que nous l'avons énoncé en commençant la discussion.
Jusqu'à présent nous avons supposé que le plan sécant était assujetti, dans son mouvement, à passer par un point déterminé 0 de la génératrice SA; mais rien n'empôcho qu'il l'esécute autour du sommet S.
4oo IDENTITÉ DES COUEBES BU SECOKD DEGRÉ
Dans ce cas, on voit encore facilement que la courbe d'intersection f?. réduira à un point, tant que le plan restera dans l'intérieur de l'angle BSA'; qu'elle se réduira à une sente droite, lorsque le plan conduit suivant SB sera exté rieur, k\a fois, aux deux angles BSA.' et BSA, et qu'elle se trauffonnsraenun système de deux droites qui se conpeiH [deux génératrices du cône), quand le plan se trouvera dans Yi/itériear de l'angle BSA.
On voit ainsi que le point, une seule droite, ou deux droites qui se coupent, font partie des sections du cône par un plan.
C'est ce qu'en peut reconnaître Également au moyen do l'équation [?; en Y faisant
^ a ou S0:-o.
Elle se rédi:it, dans celte hypothèse, à
équation qui, pour a -+- fi < 1 80", est de la forme
y'-i-/.x- = o (tétant positif),
ot qui ne peut 6tre satisfaite que par j' = o, x -= o; pour =■. -h ^ -— 180°, elle devient
j'--^û, d'où j-=o;
enfin, pour x -1- ê > 180°, elle prend la forme
t' = /-j.'= ou r-~=^xi/I- (A étant encore positif),
et représente "n système de deux droites qui se coupent.
JV. £, " Le système de deux droites parallèles, qui , comme on l'a vu aux a"* 161 et 297, est un cas particulier de la parabole, semlile faire exception tant qu'il s'agît d lin cône pioprement dit; mais nous reviendrons bientôt sur ce cas pari culier
336. Pour compléter U démonstration de Yidcntiié des courbes du second degré et des sections co iiqucs, il nous reste encore à faire voir qu'une courbe du second digrc étant donnée à priori, i! est toujours possible de la raproihùre au mojen do 1 inter ertion d'un pUm et d'un cône droit.
A cet effet, reprenons les doux relations établies dans la discussion prùcédenle,
-, ^;.i -, i.,.!,! 1 fi — ., sin'^isinl^ -h il ___
et tâchons de déterminer a et «, connaissant p, ij c
