ET DES SECTIONS CONIQUKS

ailleurs («0)

.+ 7 = T- ~^~-A, (ActaQt>El.

II en est donc de même de l'inégalilé Ç 4 ).

Ainsi, une ellipse et un cône étant donnés, il est tmijours possible de Irouvei- un plan qui coupe le cône suipoiit la courbe donnée.

Quant à i'atPERBOLE, comme q est positif, l'inégalité (4) est satisfaite d'elle-même.

Mais l'autre devenant, par la substitution de -h ^ à la place de q.

exige que i'angio - ê soit un moins égal à l'angle dont la tangente a pour valeur numérique -r ; ce qui veut dire, en langage géométrique , qu'une

hyperbole étant donnée à priori, on ne peut la placer sur un cône qu'autant que l'angle ê de deux génératrices opposées est au moins égal à l'angle que forment entre elles les dciix asymptotes de la courbe donnée : condition qui peut toujours être remplie.

On doit donc regarder comme complètement démontré que toute courbe du second degré peut être considérée comme une section conique,

3B7. Remarque. — La condition particulière à l'hyperbole peut s'expliquer par la Géométrie.

Concevons, en effet, qu'on ait mené dans un cône droit un phkmier eystème de plans parallèles entre eux et, de plus, parallèles à l'axe du. cône; ces plans donnent lieu à une suite d Inperboles dont les asymptotes forment entre elles le même angle; car, dans 1 équation (a) du n° 3B8, le coefficient de 3,', qui pour le cas de l'hyperbole a pour expression jjj est indépendant de la distance a du plan sécant au sommet du cône, ce qui prouve que -r est constant pour toutes les hyperboles dont il est ici question.

L'un de ces plans passant par l'axe lui-même détermine sur la surface conique deux génératrices dont l'angle est égal à celui des asymptotes.

Maintenant, considérons un second système de plans parallèles entre eux, mais non parallèles à l'axe, et tel qu'il donne encore lieu à des hyi. L'angle des asymptotes de ces hyperboles est aussi constant et

yGoosle

4o4 IDENTITÉ DES COtlKBES DU SECOND DEGUÉ

égal à l'angle des deux générulriccs déterminées par celui des plans de ce système qui passe par le sommet du cône. Or ce nouvel angle est nécessairement moindre que celui dont ie plan contient l'axe; car dans Xangla trièdre formé par l'axe et les deux génératrices dont nous venons de parler, l'angle de celles-ci est moindre que la somme des angles qu'elles forment avec l'axe, somme qui est égale à ê ou à Vangle au sommet du cône.

D'où l'on voit que le maximum des angles que forment entre elles les asymptotes de toutes les hyperboles qu'on peut obtenir sur la surlace d'un cône droit est \ angle de deux génératrices opposées, ou Y angle au sommet du cône, et qu'ainsi il n'est pas possible de placer sur un cône droit ime hyperbole dont les asymptotes font un angle plus grand que l'angle au sommet de ce vône.

3S8. De la section ANTip.vEiALiaaE ou sous-contraihe dans le cône OBLIQUE A base ciBCULAiRB. ^ L'îiiterseclion d'un cône oblique à base circulaire par un plan donne également lieu aux trois courbes du second degré; mais elle offre «ne particularité, c'est qne Von peut obtenir un cercle au moyen de deux systèmes différents de plans parallèles : ce qui n'est pas possible dans le cône droit.

our faire ressortir immédiatement cette propriété, il est d'abord indispensable de prendre le plan sécant dans une position spéciale que nous allons déterminer.

Lu sommet S (fig. i83) abaissons SK perpendiculaire sur la base ; et par se, SK conduisons un plan (appelé plan principal) qui coupe celui de la base suivant la droite indéfinie GCB représentant la projection de l'axe sur la base. Élevons ensuite en un point quelconque G de GCB, et dans le plan de la base, la droit* LL' perpendiculaire à GC; c'est cette droite LL' qu'il faut prendre pour la trace du plan ticant. L'intersection, de ce plan avec le plan principal est une droite quelconque GOX; et la courbe OMO'M' produite par ce même plan sur la suiface conique est celle dont il s'agit de former l'équation.

Prenons OX pour l'axe des abscisses, et pour a\B des j la droite Oî parallèle à LL'; puis, par un point quelconque P de OS, conduisons un plan parallèle à la base, ce qui détermine une circonférence de cercle dont le diamètre est III, et l'intersection avec le plan sécant une droite fJPM', parallèle à OY et à LL', et par conséquent perpendiculaire à la fois à IH et à OX (puisque LL' est en môme temps perpendiculaire à GC et !» GX, d'après les principes de Géométrie), Pais, posons

OP =- .'^ MP = r, SO = a, a:igleSOO'- ^:, andeOSO' ou ASB = S, angleSAB-7.

ET CES SECT!(i!<S IRONIQUES.

MP étant une ordonnée du cercle, on a d'abord

j'=IP xPII, et il faut calculer IP et PH.

En opérant comme au n" 3jj, on obtient

et, par suite,

^sin(a ■

d'où, substituant dans l'expression de r°,

sin7sin(@ + 7)' sin7àn(â -i- y)"'

Comme il résulte des conditions indiquées ci-dessus, que les ases auxquels la courbe est actuellement rapportée sont rectangutmres, il s'ensuit (8S) qu'elle deviendra une circonféi-encc de cercle â l'on fait en sorte que le coefficient de ^', qui est ici précédé du signe —, soit égal à l'unité.

Or on arrive à ce résultat, soit en posant

Car la premièro hypotlic

se donne

d'où

!in(. + 8

l = .in(C + 7,, (« + S1 ,.

la seconde donne

puis

sin7 SOI

sin(S + v),

d'où sinv=sln(-

et, par soite,

sin»

sm(. + «) j.

siniË-^VJ sin^ en sorte qu'il ne reste plus qu'à traduire sur la figure ces deux condiliors

La première, qui revient ù SOO'--- SAB, indique que le i/tan sècam doit être pm-attèle au plan de la base.

4oG IIES SECTIOKS COKIQUKS SEMRLABi.ES.

La seconde csprime que l'angle SOO' doit ôlre cgal à l'angle SBA, puisque SBA = iSo"— (§-+-7).

Cette autre seaion circulaire porte le nom de section antiparalléle ou

On fait usage de cette propriété dans îa construction des moppemondes.

3S9. Pour obtenir l'équation la plus générale d'une section faite par

un plan dans le cône oblique à base circulaire, on opère de la manière

Soit LL' [Jîg. 184) la trace du plan sécant sur celui de la base, jfte/îfez du centre C de la base une perpendiculaire CG sur LL' ; puis conduisez suivant l'axe SC et la perpendiculaire CG un plan qui coupe la surface conique suivant deux droites SA', SB'; concevez ensuite par LL' un plan quelconque dont l'intersection avec le plan A'SB' est une droite GOX, et ijui détermine, comme précédemment, «ne courbe telle que OMO'M'.

En prenant pour axes les droites OX et OY parallèle à LL', et conservant les mêmes notations que précédemment, on parvient à une équation tout à fait identique; mais il y a cette différence, c'est que l'ordonnée MP du cercle IMH est bien perpendiculaire au diamètre IH, mais ne l'est pas à i'aïe 00'; en sorte que la courbe OMO'M' se trouve rapportée à un système d!axes conjugués dont l'origine est placée à l'une des estrémités d'un diamètre.

Quoi qu'il en soit, il n'en est pas moins démontré que l'intersection du cône oblique à base circulaire par un plan donne également lieu aux trois courbes du second degré.

Des seciioiis coniques semblables.

3G0. On appelle sections coniques semblables toutes les courbes que l'on obtient en coupant un cône par une série de plans parallèles entre

La considération de ces sortes de sections est une suite ntiturelle de la remarque du n°3S7.

En effet, s'il s'agit d'ELiiPSEs ou d'uiPEuBOLES, comme dans Véquation générale des sections coniques (33B}, le coefficient de a;' a (W6] pour espression

oit que, pour un même système de plans parallèles, le rappori