IP
IsintOPlsinOlP,
ou
et, par
■ suite.
IP = ^.^l!!?
sm7
PH = lîl — IP
= -ir
d'où, en substituant dans la relation ci-dessuS,
équation dans laquelle le coefficient de *' est essentiellement négm/f. Donc la courbe d'' intersection est toujours a/ie ellipse. Si maintenant on considère un cylindre di-oic [Jîg. 186), on a
et l'équation (1) dovienl.
(2) j'=2rsinsc.;r-^'sin'a;
résultat que l'on peut obtenir directement.
Comparons l'équation (a) à celle de l'ellipse rapportée à l'un de s sommets et à son grand axe comme axe des x, savoir (144) ;
il vient les deux relations
d'où l'on déduit, en divisant la première par la douxièir.?;
A = 7^—1 et, par suite, B — ?■;
ce qu'il est f&cile de vérifier au moyen de la figure. En effet, soient 00' le grand axe, et oo' le petit axe; ïi.
LES SECTIONS CÏLINORIQIIES, ^O^
on mène OK parallèle à AB, et que des points n, o\ on abaisse les perpendiculaires ni, n'k' sur le plan de la liase, on a premièrement
OK = 00'cosO'OK-00'Hin^; d'où 00'=aA=-^~'
En scennil lien, la droite no' étant parallèle à OY et à LL', est parallèle an plan de la base, et se projette dans sa véritable grandeur suivant le diamètre kh'; d"où résulte
362. Première remarque. — Si, comme pour le cône droit, on conçoit .gue le plan sécant tourne autour du point 0, supposé fixe, de manière à former tous les angles possibles depuis o jusqu'à 180 degrés, il est visible que, tant que I0 plan rencontrera la génératrice opposée à AA', on obtiendra une courbe rentrante et fermée qui , ainsi que l'on vient de le prouver, est une ellipse. Mais, dans les deux cas particuliers de a = o, a = 180°, ce qui donne sina = o, l'équation se réduisant à
y''=--o représente une seule ligne droits ou (w<? variété de la parabole, qui n'est elle-même antre chose (14-i) qu'une ellipse infiniment allongée ou dont le grand axe est infini.
Il Xa plus : si l'on imagine que le plan sécant, mené suivant la génératrice AA', se meuve parallèlement à lui-même et h. AÂ', et de manière que sa distance à cette droite soit inférieure au diamètre AB de la base, il est évident que l'intersection de ce pian avec la surface cylindrique sera un système de deux droites parallèles; résultat que ne semble pas comporter l'équation (a). Majs on va voir que, par une simple transformation de coordonnées, on peut faire en sorte que l'équation de la section cylindrique comprenne ce système couane cas particulier.
Pour cela, il suffit de transporter l'origine des coordonnées au point G, en posant 3; = .r — OG dans l'équalion (a) ; ce qui exige que l'on évalue d'abord la distance OG.
Or, si l'on désigne par a la longueur CG qui exprime la distance du centre de la base à la trace du plan sécant sur celte base, on a
d'oii 0G==-
AG inGOA"" Par suite, l'équation (a) devient
4io J)i:s SECTIONS cvuKimiQUitS.
ou développant,
Soit fait maintenant h = o; on trouve
OTi réduisant,
Ce résultat prouve évidemment que, tant que l'on aura a < /-, la section cylindrique sera un système de deus droites parallèles; pour « = r, on a r = o, ou "«e seule droite; et pour ii > r, lin système de deux droites imaginaires .
I« cylindre pouvant Être considéré comme un cône dont l'angle au sommet ë devient nul, il en résulte que ces trois variétés sont implicitemeni comprises dans les sections coniques : ce que l'on aurait pu reconnaître directement par une transformation de coordonnées exécutée sur l'équation (a) du n" 3^3.
363. Seconde remarque. — Le cylindre oblique, comme le cône oblique, donne lieu à deux systèmes de sections circulaires; il suffirait, pour le démontrer, d'opérer comme on l'a fait au n" 3S8 ; mais nous ne croyons pas devoir insister sur ce point.
il.ïTTQlJi; A TROIS IlIMESSIOISS.
