CHAPITRE X

DU POIMÏ, DE LA LIGNE DROITE ET DU PLAN DAMS L'ESl'ACE.

JHijiintions du pciint.

3Ci. Do mSme qu'un point ost déterminé de position sur un plan par le moyen de ses distances à deux droites menées à volonté dans ce plan, de même sa position est fixée dans l'espace , dès que l'on connaît ses distances à trois plans.

Soient trois plans YAZ, XAZ, XAY (Pl.X,Jig. 187), que noua supposerons d'abord perpendiculaires entre eux, et qui se coupent suivant trois droites AZ, AY, AS, dont chacune est nécessairement perpe/idicidaire auï deux autres.

Appelons a, 6, c les distances d'un point de l'espace à ces trois plans, distances qui sont censées connues ; je dis que le point est complètement déterminé de position, en admettant toutefois qu'on sache aussi d'avance que ce point se trouve situé, par exemple, dans l'intérieur de l'angle trièdre AXYZ.

En effet, prenons sur les trois droites AX, AY, AZ des distances AB, AC, AD, respectivement égales art, b, c; et menons par les points B, C, D des plans parallèles aux plans donnés. D'abord, puisque les deux premiers plans parallèles ont leurs points respectivement placés aux distances a, b, des plans YAZ, XAZ, il s'ensuit que tous les points de Mm, intersection commune de ces plans parallèles, jouissent, exclusivement a tout autre point, de la propriété d'être à ces mêmes distances de YAZ et de XAZ. Donc déjà lo point cherché se trouve sur cette ligne. D'un autre côté, le point doit aussi être situé quelque part sur le troisième plan pa-

4l2 ÉQUATIOKS DU PO!«T DANS L KSPACK,

rallèle , puisque les points de ce plan sont, à l'exclusion de tout autre point, à !a distance AD = c, du plan XAY.

Donc enfin le point cherché n'est autre chose que le point M où le troisième plan parallèle coupe l'intersection commune des deux premiers, el sa position est tout à iàit déterminée.

Nous conviendrons de désigner par x les distances au plan YAZ comptées sur AX, par x les distances au plan XAZ comptées sur AY, et par a les distances an plan XÂY comptées sur AZ, en sorte que les droites AX; AY, AZ, intersections des trois plans deux à deux, seront les axes des j , désuet des z. On les appelle conjointement axes coordonnés, et les distances dont nous venons de parler sont dites les coanhnnéeî da point.

Toutes ces dénominations sont analogues à celles que nous avons employées dans la GÉojtètRiË a deux dimensions.

Nous nommerons aussi plan des j-s, !e pian YAZ perpendiculaire à l'axp des a;; plan des j;a, le plan XAZ perpendiculaire à i'axe des/; et plan des xy, le plan XAY perpendiculaire à l'axe des z. Ce dernier plan e;it ordinairement représenté dans une position horizoniale, et les deux autres dans une position ■verticale.

Il résulte de ce qui vient d'Être établi, que les équations

xr..a, y^b, -. = c

\a, b, c étant des quantités connues) suffisent pour fixer la position du point dans l'espace; elles sont, pour cette raison, nommées les équations du point.

On doit remarquer toutefois que, comme Ira trois pians coonlonnéi, étant prolongés indéfiniment, déterminent liait angles trièdres, savoir, quatre formés au-dessus du plan des xy et ijuatre au-dessous de ce m6me plan, il font encore exprimer par l'analyse dans lequel de ces huit angles le point se trouve situé. Jl suffit, pour cela, d'étendre aux distances à des plans les principes qui ont été ét3bli3(27) pour les distances à des points ou à des droites; c'est-à-dire que, si l'on regarde comme positives tes distances comptées sur AX, dans un certain sens AX par rapport ait point A, on doit regarder comme négative les distances comptées en sens contraire, c'est-à-yiire dans le sens AX',

Môme raisonnement pour les deux autres coordonnées.

On doit donc distinguer (46) dans les quantités a, b, c non-seulement les valeurs numériques de ces quantités, mais encore les signes dont elles sont affectées, eu égard aux diverses situations que le point peut avoir dans les angles trièdres formés par les trois plans coordonnés.

D'après ce principe, on a, pour exprimer complètement la position d'un

ÉQUATlOhS BIT POIKT DANS l'1!SFACB. 4'^

point dans l'espace, les /mil combinaisons suivantes ;

.V -: -h //, r = -H />, a = + r, point situé dans l'imslc AXVZ ■ x^-~/i, r = -^/^ z = -+-(■, n AS'YZ,

^ -^ -/- ,/, y .^ -t- /j, 3 = ~ ,■, « AXYZ',

.r--rt, r--=~ù, ^ = -'.-'■, » AX'Y'Z,

^ = --;, Y-^'.-\-b, s ==-(■. >) AX'YZ',

^.■ = -+-,7, r^-b, z---.'---, >. AXY'Z',

1;:=-,^/, x=-f>, z=--.-r, « AX'Y'Z':

œ qui donne deux systèmes dans lesquels les signes des trois coordonnées

sant les mêmes, trois qni ont un signe négatif et les deuï autres positifs,

et Irais pour lesquels un signe est positif et les deus autres négatifs.

365. Le point peut, d'ailleurs, se trouver dans dos positions particulières. Par exemple, pour exprimer qu'un point est situé dans le plan des jy, il faut écrire que sa distance s à ce plan est mdtc; et l'on aura; pour les équations de ce point,

De même, un point placé sur l'axe des x, pour lequel les (iistunces a plans dos a;i et des icj- sont imUes à la fois, aura pour équations

et ainsi des autres points placés, soit sur les plans, soit sur les axes coordonnés.

366. Prcmièi-e remarque. — Les plans parallèles ans trois plans coordonnés, et qui ont servi à fixer la position du point M, déterminent avec cous-ci un parallélépipède rectangle, dont les douze arôles, ét,alBù quatre à quatre, ne sont autre chose que les trois coordonnées ^, i s du point M.

D'un autre côté, on sait que les pieds m, m\ m" de^ perpLndiculaiies abaissées sur les plans coordonnés sont, en terme de Geomélno des<..riptive, les pivjcctions du point M sur ces trois plans.

D'après cola, si l'on suppose que

soient les équations du point M, on a pour les coordonnées du point n tes équations

[4 UESTANfiE HNTRE DHQX ['OIMS DOKM'S.

lOiir celles du point m',

;e qui donne pour celles du point «.>",

D'où Ton voit que les projections du point M =;ur deux, des plans coordonnés étant connues, la tmisièn e piojection en est une consiquence

307. Seconde remarque. — On peut explquerpou! quoi dans ia Géométrie descriptive, il suffit de deux plant le projectio i poui fixer la position d'nn point, tandis que dans la Géométrie amiylique 1/ fan trois plans coonhimés.

La connaissance des projections d un point sui un flan hoiizontnl et sur wn plan vertical est en effet suffi'iante pour leo constructions, i^rapliiques; mais si l'on veut fixer analj tiqueraent la position de cliacune de ces projections, par exemple des ponts m m iS faut premieicmenl, tracer dans le plan Iioriwntai {x;f ) deux axes lectajigulaires A\ AI secondemcni, tracer dans le plan leitical [rz) deux as.es A\ AZ en prenant, pour plus de simplicilé, pour axe co nm m \ intersection des deus plans de projection. Or il est évident que les deu^ axes AY AZ déterminent un troisième plan recianaulaire avec le« deux autres Ainsi géométriquement deux plans suf6^,ent, mais anafytiqtiement il en faut trois.

S68. Lorsque les plans coordonnés ne sont pas rectangulaires, auquel cas ies ases AX, AY, AZ {Jï§. 18B] font entre eux des angles quelconques et sont dits des axes obliques, les équations d'un point M sont en-

Mais alors «, b, c expriment des distances comptées parallèlement à ces axes; et les projections du point M s'obtiennent par les lignes Mm, H;i(', M'"", respectivement parallèles à AZ, AY, AX.

Du reste, tout ce qui a été dit dans les précédents numéros est applicable au cas où les axes sont obuques.

Expression de la distanre entre deu.z )>oints.

3G9. La recherche de cette expression est, comme celle relative à deux points donnés sur un plan (48), une question essentielle.

Soient j;',j', s' les coordonnées du premier point M (fig. 189), x', y', z" celles d'un second point N, rapportées d'abord à trois ases rectangulaires AX, AY, AZ.

ÉQUATIONS DE Li. I.IGSE DROITE DANS 1,'rSPACE. 4'^

Si l'on abaisse des points M et N les perpendiculsiires Mm, N« sur h plan des ay, puis des points m, n les perpendiculaires «iP, «Q sur l'ast' des X, il résulte de la remarque (366) que l'on a

AP = .;', mV=--j', iim=:', et AQ =^", "Q-=y\ Vnd-.z".

Tircms ensuite nw, ce qui détermine un trapèze MNnw;; et menons dans ie plan de ce trapèze NH parallèle à /im ; puis , sur le plan des ^j , rtL parallèle à AX.

Cela fait, les triangles rectangles MNll et miiL donncn

MN = NU + MH = mn + MH , et

li^i' = 111'.-+- iia' ::= PQ' -h ^' ; d'où l'on dÉduit

Mais on a évidemment

PQ- .r'-.r", „iL=r'-r\ MH ^ :;'- ^'

d'où ■ " __

[lonc enfin

mm' ou D' ----(,<.■'-..■;")-+ (/' — .)■";'+[:'—: et, par conséquent,

Telle est l'expression générale de la distance de deux points on fonction des coordonnées de ces points rapportés à des axes rectangulaires.

Nous verrons pins loin quelle est l'expression de cette distance lorsque les axes sont oblùjues.

N. B. ~ Cas particulier: — Si l'on suppose l'un des deux points à l'origine, la valeur de D devient

li^/uatioiis de la ligne drvile.

370. Lorsque des points sont en ligne droite dans l'espace, on sait que leurs projections sur un même plan sont aussi en ligne droite; et cette seconde droite est dite la projection de la première sur ce plan. On sait encore que les projections d'une droite sur deus plans suffisent pour dé-

4l6 ÉQUATIONS DE t<L LIGNE DROITE DANS L'esPACE.

terminer aa position; d'où il suit qu'une droite serait fisée analytiqueaient si l'on connaissait les équations de ses projections sur deitx des trois plans coordonnés.

Ordinairement, on considère les projections de la droite sur les plans des ^a et des yz\ et comme ces deux plans ont pour axa commun AZ, c'est cette ligne qui, dans chacun des i)lans, est regardée comme l'axe des abscisses ; AX est alors l'axe des ordonnées sur le plan des arz, et AY l'axe des ordonnées sur le plan desjz.

Ainsi, soient MN [fig. 190) une droite quelconque dans l'espace, mn, m' n' ses projections sur les plans des xz et desj's, nous présenterons les équations de ces deux projections sous la forme

CI, b sont des constantes qui (SI ) d s ^nei t les tinrent di,s ai glcb 1 e ■ forment mn, m'a' avec l'axe des z et a ë expnment les dist-mces de l'origine aux points où ces droites rencontrent 1 axe des x et î a^e des j