AB.-?.,, AC= -^., AD
d'où, substituant dans l'équation du plan et réduisant,
lix M- fpx ■+- ly^ — ?™i
équation analogue à celle qui a été obtenue pour la ligne droite (55), ninsi que pour les équations de l'ellipse et de l'hyperbole, rapportées à leurs axes.
Elle ne renferme, comme l'équation
([lie trois constantes, mais elle est plus symétrique.
Questions préliminaire relatives à In ligne ibotte et au plan
380. Nous allons maintenant nous occuper de la résolution d une série de questions relatives au point, à la ligne droite et au plan, qm avec celles que nous avons déjà traitées (374 et suivanf>.), consUluent ce que l'on appelle ^a préliminaires de la Géométrie analj tique a troia dîmen-
I'hemiÈrb ouËSTiox. — Faire passer un plan par trois points liannés.
Désignons par {^',r', s'), (-f", /", 2"), (x"',]-"', z"") les coordomiécs dus trois points, fit par (1) Â:K + B,r-!Cî-i-D^o
l'équation du planclierclié; A, B, C, D sont des constantes qu'il s'agit do déterminer.
Puisque le plan est assujetti à passer par les trois points, son équation îoit Elre vérifiée lorsque l'on y remplace successivement x, j, i par les
o QUESTIONS PRÉLIMINAIRES
avdonnées de chacun de ces points ; ainsi l'on a les trois rolationa Aj-' + Bj'-hCs'-i- D^o,
AJ:'"^-B.^"■-^-C^"''^■I)= «, \i peuvent être transformées de la manière suivante ;
En appliquant à ces relations les formules pour la résolution des équations du premier degré à trois inconnues, et observant que le coefficient D étant tout à fait arbitraire, on peut l'égaler à la quantité qui sert de dé-
. , A B C nommateur commun aux trois expressions 'ï" ^r i ^^ j ^r i on trouve, tout
calcul fait,
D= .ryz°'—x'z"x'"-i-z'j:'f"—r'x'z'"-i~j'z"j:"'—z'f"j:'".
C = — jr'j-"-H j/f"— x"x"'-\-j-'j:''—f'x'"+y''j:"'.
Vi ne s'agirîùt plus maintenant que de substituer ces valeurs dans l'équation ( 1 1, et l'on aurait l'équation demandée.
Soit, comme cas particulier, à faire passer un plan par les trois points E, C, D, pour lesquels on a les relations
Les valeurs précédentes des coefficients D, A, B, C se réduisent à
Xi=pij!; A = — qi; B = — pr, C. = —pq;
et l'équation devient
5/-.C -:- jiry -.- pqz. =^jxjr,
OTmme au numéro précédent.
Sun I.A LIGKF. DROITE ET LE PlAH. 43t
387. Seconde question. — Faire passer un plan par un point et uni; tlroile ilomws.
Soient.):',/', s' les coordonnées du point,
les équations de la droite : celle du plan cherché sera de la forme
(2) A^-hBf-l- C3-HDr=0.
Comme ce plan doit passer parle point (.j:', f', z'), on a pour première relation
(3) Ajr'+Bj'+Cs'-f-D =
d'où, retranchant les équations (a) et (3) l'une de l'autre.
C'est la forme caractéristique de l'éqiiation d'un plan passant par un point donné; nous aurons souvent occasion d'en faire usage.
Maintenant, il faut exprimer par l'analyse que la droite donnée se trouve tout entière dans le plan eherché ; et, pour cela, il suffit d'écrire que les coordonnées x, y, z de tous les points de la droite vérifient l'équation dti plan. Or, en substituantpourj: et /leurs valeurs tirées des équations [i), dans l'équation (ï), il vient
Alri3 -t- te) + B(/;; + S)-h Cî ■-)- D = o;
ou bien, elTcctuant les calculs et ordonnant par rapport à s,
(A^« + B6 + C)s-i-AH+lïfi + D= o.
Or celte équation doit se vérifier indépendamment de toute vaieur particulière attribuée à z \ ainsi chacune des quantités
A«-t-B64-C, AH-4-Be + D doit être mille séparément; et l'on a les deux nouvelles relations (5| A«-i-B(0-t-C= o,
(6) A«-i-Bfi-^D.---o,
pour exprimer que la droite est comprise tout entière dans le plan. En soustrayant la dernière de ces relations de l'équation (3), on obtient
équation qui ne renferme plusD, et qu'on peut substituer à l'équation (li).
QUESTIONS TRÉLniINAlRES
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3onc à trouver les valeur!
5 de A,
B, C, 011 pliUflt
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4,»ar.
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1 des trois coefficients
B, C, il n'
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d'oii, substituant dans l'équation (4),
Telle est l'équation du plan demandé.
388. Remarque. — Dans la question précédente, nous avons établi deux relations
Â(-- + Bfr + C=o, A-/.-^■B!?^D = o,
qui méritent quelque attention, parce qu'elles sont fréquemment employées dans la Géométrie analytique à trois dimensions. Reprenons les équations de la droite et du plan,
