SUR LA LIGSE DBOIEË ET LE PL.IN
d'où
(A^-f-BS-i-Di
A«-i-Ûi-i-C '
et, par suite;
fl(AK + BS-i-Di
■^ " An-i-B6-+-C '
ou bien
« ( A^ + Bi + C) - a ( A^ H- lis? -K D)
A« + Bi + C
puis
i(A-.:-i-BS + D)
ou bien
e[Arf + BS + C,)-ft{A^ + BS-hD)
Cela posi5, si l'on veut exprireer que la d/m'le cl le plan sont pnrnllùles, il faut écrire que les valeurs de j:, j, z correspondant au point d'intersection sont infinies^ ce qui se fait en posant
A«-^Bt-i-C = o,
car ces valeurs deviennenl iilors
^ \\,, -L,nq-un-) ^ «(A:^-h B^-K p)
*( Aj<l-A^ ">■ iJL) Si, au lieu de la condition
les valeurs de x, y, 3 se réduisent à
Or il est aisé de reconnaître que le point correspondant à ce système de coordonnées est celui où la droite rencontif le plan des jy ; car si l'on pose, dans les équations de la droite.
Supposons maintenant qu'on ait à lu fois
Afl4-Bfi + C^- o, A^-^B5 + D^ ^p. de VAl. à la G.
434 QUESTIONS PUÉUMISAIBES
les valeurs de .k, y; a se réduisent à la forme -i signe de l'indéurminntion; ce qui prouve qu'alors la droite se trouve tout entière dans le plan. On peut conclure de là que, des deux relations ci-dessus, la première exprime seulement que la droite et le plan sont parallèles ^ la seconde, que le plan passe par un point déterminé de la droite (celui ofi la droite perce le plan des xy); et que toutes les deux, conjointement, expriment que la droite et le plan se confondent.
389. Troisième question. — Un plan et un point hors de ce pUm étant donnés, on demande ; l" d'abaisser du point une perpendiculaire sur le plan; 1° de Irouoerla longueur de cette perpendiculaire, c'est-à-diro la distance du point au plan donné.
Soient ^', j ', z'ies coordonnées de ce poini, et
(i) Aj7 + Bj-)-Cs + D = o
l'équation d'un plan supposé connu de position. Les ikjuations do la droite cherchée seront [374) do la forme
«, b étant deux constantes qu'il s'agit de déterminer.
Pour cela, nous rappellerons un des principes de la Géométrie descriptive, lequel consiste en ce que, si une droite est perpendicidaire à un plan dans l'espace, In projection de la droite sur an des plana coordonnés est perpendiculaire h la trace du plan donné sur le même plan coordonné.
Cela posé, si, pour obtenir les traces du plan donné, on feit successivement j- ^ o et j^ = o dans l'équation (i), il vient
A.r + C3^-D = o, Bj-r-Cz + D--- c,
que l'on peut mettre sous la forme
Or, puisque les droites exprimées par les équations (a) doivent être respectivement perpendiculaires aux droites exprimées par les équations (3), il faut (64) que l'on ait entre les coefflcients de s les relations
Substituant ces valeurs de o, b dans les équations (a), un obtient pour les équations do la perpendiculaire
(il .-.=^(.-.), r-j=-{.-.).
Actuellement, pour résoudre la seconde partie du problème proposé, observons que, d'après l'expression (36flj, qui donne la distance entre deux points, il suffît de déterminer les valeurs de
propres à satisfaire en même temps aux équations (i) et Ç4]i et de substituer ensuite ces valeurs dans l'expression de la distance (puisque, par cette élimination, on obtiendra nécessairement les différences entre les coordonnées du point oii la perpendiculaire rencontre le plan et celles du point donné).
A cet effet, nous ferons subir à l'équation fi) la transformation suivante ; ajoutons au premier membre la quantité
— A.r' — Br'— Ca'-+-A.r'+Iij'+C:^',
qui est identiquement nulle, et posons
(5) A.i:'+Bj'+Cs'+D = D';
il vient
A(,^-,^')+li(j-j') + C (;-=') + D'=o.
Or, si l'on met dans cette équation, à la place de ^ — .k', j — y', leurs valeurs (4), on trouve
+ itM-C-'
436 QUESTIONS FRÉLiaiHÂlRES
irais on appelant P la perpendiculaire demandée, on a (369)
A.^'+Bj'+C3'-
(Fô^es ce qui a été dit n" 6S sur le double signe dont le radical est nffeclé. )
390. Cas particuliers. — \° Le point doiiné peut i^tre l'origine même des coordonnées. Dans ce cas, on a
et l'expression de la perpendiculaire se réduit à
/A' + li'-i-C' Le pied de la perpendiculaire a d'ailleurs pour coordonnées
a" Si le po nt donné se trouve sur le plan, ses coordonnées doivent vérifiei 1 1 lualiun du phn ; c'est-à-dire que l'on a
391, Quatrième question. — Réciproquement, im point et une droite étant donnés duns l'espace, mener par le point un plan perpendiculaire à la droite, et trouver la longueur de la distance du point à ta droite.
Soient
les équations de la droite donnée, et .r', 7', z' les coordonnées du poinl. L'équation du plan cherché sera (387) do la forme
Or, par hypothèse, la droite et le plan sont perpendiculaires entre eu.'* ; on a donc (389) entre les coefficients A, B, C et «, b les relations
SL-El LA LIGNE UROiTE ET LE PLAK. ^à"]
d'où, siibfliUiant dans ]'équation (a) et divisant par C,
C'est l'équation du plan cherché.
Maintenant, pour obtenir k distance du ipoint[sc',f', i') au point où 1d plan rencontre la droite, il suffit de chercher les valeurs de .-c—x', y — y', 2 — ï' propres à satisfaire en mÈme temps aux équations (t) et (3), puis de porter ces valeurs dans l'expression générale de la distance entre deux points donnés.
Afin d'effectuer cette élimination, nous mettrons les équations (i) sous la forme
(Celte transformation est analogue à celle du u" 65.)
Cela posé, si l'on substitue pour ■>: — x',x — y', leurs valeurs dans l'équation (3), il Tient
en posant, pour simplifier,
(5J K = ,.(.'"-")+»lj'-î)*='-
Portons cette valeur du z — z' dans les équations (4); il vient pour leurs correspondantes de a: — ■■>:', y —y',
Faisant la somme des carrés Û^s valeurs àe x — ^^', r—y', z— z,', et observant : i' que les premières parties élevées au carré donnent pour somme, — — -i-, ; a" que la somme des doubles produits se réduit,
438 ouF-SïioNs riifiLDiiNAinns
d'après l'équation (5), à-^ — jj 1 onlrouveen
plus simple de la distance du point à la droite donnée,
d'après l'équation (5), à — — ^^ 1 on trouve enfin, pour i'cx(iressioii]a
392. Coiiàfijiœnee. ~ Si l'on joint le point (x\ y\ &') au point où la droite est rencontrée par le plan qui lui est perpendiculaire, iwint dont nous désignerons, pour le moment, les coordonnées par x", y°, z", il est évident que cette droite de jonction est perpendiculaire sur la droite demandée.
Or les équations de celte droite sont (37i) do la forme
et les rapports -'-■;; — -^-^ • , , ne sont autre chose que les rapports
des valeursdea: — a;', je — j', z — z' trouvées dans le numéro précédent. Donc, en effectuant cette substitution, l'on obtiendrait les équations de la perpendmdaire abaissée d'an point sur une droite dans l'espace: question dont nous avons annoncé une solution à la fin du n° 380.
Nous n'achèverons pas ce calcul, qui n'offre aucune difficulté et qui conduit d'ailleurs à des résultats peu élégants.
393. Cinquième que^ion. — Par un point donné dans l'espace, mener un plan parallèle à un autre.
Avant de résoudre ce problème, nous commencerons par établir les «inditions analytiques qui expriment que deux plans sont parallèles.
Soient
A .r 4- Bj- + Ca + D = o, A'^ + B'j + C'2 -M- D'= o
les équations de deux plans donnés dans l'espace.
Si ces plans sont parallèles, leurs traces sur le plan des xz et sur cûlui des j^ doivent être aussi parallèles.
Or (384, N. £,) les équations do ces traces sont, pour le premier plan,
A.r + Gs + D=o, Bj-hC5-i-D=o,
pour le second,
A'-c + C's-i-U'=o, B'j +C'3-t-D'^o, et pour qu'elles soient respectivement pandlèle.s, il faut (378) quo l'on
SUR LA LIGNE DltOlTE HT 1
Désignons acluellement par 3:', j', z' les coordonn&s du point donné, L'é([uation du premier plan étant
A,r + lt r+'C2 + D = o,
celle du second, qui est assiijetli à passer par le point {j:',x', z'], sera de la forme
mais, par hypothèse, les deux plans doivent klK parallèles ; on a donc
d'où
A..-^C, B-gC.
Portant CCS valenrs de A', B' dans l'équation prÈcédente, et divisant par C, on obtient, pour l'équation demandée,
Af^-.^')-^B[r-r'H-C(;-^') = o,
équation dont les trois premiers coefficients sont les mSmes que ceux de l'équation du plan donné ; il n'y a que le z de l'origine, e'est-à-dire le premier terme indépendant des variables, qui soit différent.
Si le point par lequel on veut faire passer le plan parallèle est l'orif^inc même des coordonnées, on a
et l'équation ci-dessus se réduit à
Aa: + Bj-t- G; = o. (roj-î^lo n° 383.)
3^)4. Distance de deux plans parallèles. — Lorsque li deux plans parallèles sont données, savoir
A,r-i-Bj + Gï + D^ o,
A:c-=-B/+Cj-(-D'^0,
on peut demander l'expression analytique de leur distanco. Pour l'obtenir, abaissons de l'origine des coordonnées une droite per-
44û QUESTIONS PRÉLIMIKAIUES
pendicntaire à l'un: oile est nécessairement pap^ndicidnirc à l'aiitrô, et l'on a (3&0), pour la distance de l'origine à chacun de ces plans,
ce qui donne (P, dfeignant la distance demandée) D'-D
i/A'-^^ii'-i-C"
La quantité D'~ D exprime une différence ou une somme, suivant que les deux plans sont situés d'an même côté, ou de cûlés différents par rapport à l'origine.
Comme d'ailleurs le radical est toujours affecté du double sipie, on doit lé prendre, avec ie signe + ou le signe —, selon que D'— D est une quanlilé /w.t/iii'e ou négutivc,
393. Sixième Ouestio\. — Trowcr les étjimtions de- l'intersection commune de deux plans.
Soient (r) A.K + Br-^C2 -i-D =
(î) A'.'. + D'j-fC'î + D'^o
les équations des deux plans donnés.
Nous observerons d'abord que celte intersection est tout aussi bien déterminée par les équations des deux plans donnés que par celles de ses projections, qui ne sont d'ailleurs elles-rnSmes (371) que les équations de deux plans perpendiculaires, l'un au plan des xz^ et l'autre au plan des ji.
Mais on peut avoir besoin, pour certains problèmes, de connaître Ses cquat'wns des projections.
Or, si l'on élimine^ entre les équations (i) et (a), l'équation résultante en 3; et E appartiendra S un plan perpendiculaire au plan des 3:z, et passant par la droite; donc elle sera i'équation de la projection de la droite sur le plan des xz.
Même raisonnement pour la projection sur le plan desjs.
En effectuant ces calculs, on trouve,
1° Pour la projection, sur le plan des xz,
[AB' - BA' 1 .r + (CB'- BC) a + DB' - BD' =- c ;
a° Pour la projection sur le plan desjs,
(Aff - BA'}r + [AC- G.V) B -H AD' - DA' = v..
yGoosle
SL'n L* LIGNE BBOITE ET LE PLiN. 44'
L'Élimination cifi z donnerait également i'ixiiiation de la proiccUon sur lo plan des a-y.
39S. Septibsie OTIESTIO?!. — Deux pinns Étant chnitàs daim l'es/mce, trouver l'angle qu'Us forment entra eux.
Le moyen qui se présente au premier abord, pour résoudre cette question, consisterait à rechercher ; i° les équations des projections de l'intersection commune des deux plans; 2° l'équation d'un plan perpendiculaire à cette intersection; 3° celles des traces de ce plan sur les deux plans donnés; 4° enûn, l'angle formé par ces traces. Mais on juge aisément que ces calculs, tous exécutables d'après les principes établis précédemment, seraient assez laborieux.
Voici un autre moyen plus simple ot plus élégant. Supposons que les droites OB, OC (/■§■. igS) représentent dans l'espace les intersections des deux plans donnés avec un troisième qui leur soit perpendiculaire. Si du point 0 l'on élève OB', OC, respectivement perpendiculaires aux deux plans, il est clair que ces droites seront situées dans le troisième plan BOC dont nous venons de parler.
Or, puisque les angles BOB', COC sont égaux comme droits, il en résulte nécessairement B'OC'= BOC; c'est-à-dire que Vangle formé par deux dixiiles menées en un ptAnt de l'intersection commune de deux plans, perpendiculairement à ces deux plans, est égal à l'angle que cei plans font entre eux.
Cela posé, soient
A.r + B/-F C2-f-D= o, A'.i--F-B'j--HC'i-wD'^ o
les équations des deux plans.
Celles des deux droites qui leur sont respectivement perpendiculaires, de quelque manière que ces droites soient d'ailleurs situées dans l'espace, seront de la forme
et
rt, b, fi', b' ayant (380] pour valeurs
Or on a trouvé (377) pour l'anglo de doux droites,
„,sY= ^■■'^"'^- -.
1 II, d , b, b' par leurs viilciirs, oa obtient, toute
tprpssion independinte de D, D'; ce qiii doit être, car tous les plans parallèles aux deux plans donnés forment entre eux le même angle que ceux Cl
Le radical que renferme cette expression rend indéterminé le signe de coaV, parce qu'en eifet les deux plans font entre eus deux angles, l'un aigu et l'autre obtus ; cette indétermination cesse dès que l'on sait d'avance de quelle espèce est l'angle cherché.
Esaminons quelques cas particuliers.
397. Si les deux plans sont perpendiculaires entre eux, on doit avoir cosV= o; ce qui donne
AA'-*-BB'-i-CC'=o,
pour la condition de perpendicularité de deux plans.
Supposons les deux plans parallèles entre eux, auquel cas on a co9V= i ; si l'on égale à l'unité le second membre de la formule ci-dessus, et qu'on développe les calculs, on trouve, toute réduction faite,
(AB'- BA'j'-i-(AC'- CA')'-H-(BG'~ CB'y = o, égalité qui ne peut être vérifiée qu'autant que l'on a séparément
AB'-CA'=o, AC'-CA'r^o, BC'-CB'=o; d'où
Ce sont les conditions déjà obtenues n" 393.
398. Angle-i d'un plan avec les plans coorchimés, — Faisons maintenant coïncider l'un des deux plans avec chacun des trois plans coordonnés. On obtiendra aii^i les cosinus des angles qu'il forme avec chacun d'eux.
Supposons, par exemple, que le second plan soit le plan des ay:
Comme l'équatJon
A'^' + B'j+C'2-f-D'=o se réduit alors à
et la valeur du cosV devient
SUn LA LIGNE DROITE ET LE PLAN. 44^
[cos(^j), cos(j'ï), cos(j2) sont des notations que nous adopterons pour désigner les cosinus des angles qu'un plan forme avec les plans coordonnés].
Par un raisonnement analogue, on obtiendrait pour les angles que le premier plan forme avec les deux autres plans coordonnés
(.] cos(
[yz]
Si l'on ajoute entre elles les équations (i), (2), (3), après les avoir élevées au carré, on trouve
cos'(.o-)+ C0S'(.r3)+ cos'(j")-- 1; relation analogue à celle qui a été trouvée (379) entre les cosinus des angles qu'une droite forme avec les trois axes.
Désignons parcos(a:j-)', cos(j7s)', cos[j3)' les cosinus des angles qu'un second plan dans l'espace forme avec les trois plans coordonnés ; on aurait également
Pjw(.rj-)'^ . . COS(.î;a)'= - ---^;
4' cos(jz)'=- -======■
En multipliant ces trois expressions respectivement par celles do cos ( j:j) , cos(a;s), cosfjïj, et ayant égard à la valeur de cosV, on a cette nouvelle relation,
cos(a;7)cos(ay)'H-cos(.3;!)cos(j-zy-(-cos[j-s)cos(/2)'= cosV.
Enfin, &\ les deux plans sont perpendiculaires entre eus, on doit avoir
C0S(.rj)c0S(j-jy-HCOs(.E!)c0S(;ra}'-HCO8(7s)C0S[7s)'=o.
Tous ces résultats nous serviront dans le problème général de la transformation des coordonnées en trois dimensions,
399. HuiTIËiiE QUESTION. — Tivuner l'angle d'uni: dixAle. e.t d'un plan dans l'espace.
Si d'un point quelconque de la droite on abaisse une perpendiculaire sur le plan donné, et qu'on joigne le pied de cette perpendiculaire avec le point où la droite rencontre le plan, la ligue de jonction est, comme on sait, la prnjectiiin de la diiiite sur lej/kui.
444 QUESTIONS rllÉLlMINAlRES
Cela posé, on appelle angle d'une droite et d'un plan celui cjue Forme la droite avec sa projectioa sur le plan. Or il est évident que cet angle est le complément de celui que fait la même droite avec la perpendiculaire abaissée sur le plan.
Soient donc
les équations de la droite donnée,
A^-f-Bj-t-Cs + D---- o celle du plan.
Les l'qiiations d'une droite perpendiculaire à ce plan seront de la forme
', // ayant (380) pour valeurs
Mais on a (377), pour le cosinus de l'angle de c
donc, en remplaçant a', li' par leurs valeurs, on obtient, pour le sinus de l'angle cherché,
sioV =. A» + B^, + C .
S) la droite est pandléle au plan, on doit avoir sinV =- o ; ce qui donne la relation
déjà établie au n°3S8.
400. Neuvième question. — Plas courte dhtance de di^ux droites données par leurs équations.
Cette question, qui forme, avec celles que nous venons de traiter sur h ligne droite et le plan, ce que l'on appelle les préliminaires dans la Géomé TniE DESCRIPTIVE, est une conséquence facile à déduire des principes précédents; nous nous bornerons à. indiquer la marche à suivre pour arriver : 1° à l'expression de la longueur de cette plus courte distance ; a" aux ér/ualions de la droite Sbr laquelle elle est située.
Phesiièreuent, former les équations de deux plans parallèles passani par les deux droites données (388, 393) ; puis déterminer (394) la distance de ces deux plans, qui n'est autre que la longueur cherchée.
Secondement, former les équations de deux autres plans assujettis, l'un
suit LA L1«NE DROITE ET LE PLAN. 44''
à passer par la première droite et à être perpendiculaire au second des deux plans parallèles (388, 397), l'autre, vice versa. Ces équations fixent ainsi \i position de la plus courte distance (395); à moins qu'on ne veuille obtenir les équations de ses projections, ce qui se tait (même numéro ) en éliminant successivement deux des trois variables a:, y, z.
401 . ScoLiE GÉNÉRAI. — Tels sont les principes à l'aide desquels on peut résoudre toute espèce de questions relatives à la ligne droite et au plan dans l'espace. On ne doit pas toutefois perdre de vue que quelquesuns des résultats obtenus préa^emment sont indépendants deV inclinaison des axes, mais que toutes les questions dans lesquelles on a dû faire entrer en considération, soit la distance entre deux points, soit l'angle de deux droites ou de deux plans, et, par conséquent, la condition da perpemlicularieé de deux droites ou de deux plans, toutes ces questions, dis-je, conduiraient à des résultais beaucoup plus compliqués, dans l'iiypothèse
446 KOTiONS I'l{£l,ni1N;
