CHAPITRE XI

3 SURFACES COtJRliES, ET EN PARTICULIER DES SURFACES DU SECOKD DEGRÉ.

NotUiin iiréUm inaircs

402, Une surface courbe étant donnée de forme et de position dans l'espace, si, après avoir traduit algébriquement une de ses propriétés caractéristiques, on parvient à une relation F[3;,/,z)= o entre les coordonnées de chacun de ses points, cette équation est dite Yéquation de In surface, et !a détermine complet emer: t ; car, en donnant à deux des variables des valeurs arbitraires, on tire de l'équation une ou plusieurs valeurs pour la troisième variable ; et le point correspondant à chaque système de coordonnées se trouve nécessairement sur la surface, puisque, par hypothèse, l'équation convient à tous les pointa, et ne convient qu'auï points de cette surface.

Eéciproquement, toute équalion (1) V(.r,r,z]-=o,

dont les variables a:, j, z expriment les distances à trois plans reeinngulaires ou obliques, comptées parallèlement aux intersections de ces plans, a pour tiea géométiique une certaine surface, dont la nature et la forme dépendent de la manière dont les variables sont combinées entre elles et avec d'autres quantités constantes, données à prioii.

Pour démontrer cette seconde proposition rigoureusement, considérons une seconde équation

(ï) ri.r,j,»)=„,

et recherchons le lieu de tous les points dont les coordonnées sont susceptibles de vérifier à la fois les équations (i) et (2).

Supposons d'ailleurs, pour plus de simplicité, les axes rectangulaires.

D'abord, si l'on élimine entre ces équations une des trois variables, y par exemple, l'équation résultante

csprime une certaine relation entre des coordonnées de points situfs dans

ÙR LBB auIlFisCES COURBES. 44?

le plan des xs, et appartient, par conséquent (3711, S une ligne courbe située dans ce plan. Mais en imaginant, par les différents points de cetla courbe, des perpendiculaires au plan des scz, on forme, dans l'espace, une surface (dite mrj'ace cylindrique') pour chacun des points de laquelle les X et a sont les mêmes que ceux de la courbe; ainsi l'équation (3) convient également à tous les points de, cotto surface, et ne peut convenir qu'à ces points.

De infime, l'équation

qui résulte de l'élimination de x entre les équations (i) et (a), caractérise tous les points d'une surface cylindrique dont les arêtes sont perpendiculaires au plan des /s, et qui a pour base la courbe représentée par l'équation (4).

L suit de là que le système des équations (a) et (4), lequel peut remplacer celui des équations (i) et (al appartient à tous les poiuts qui se trouvent à la fois sur les deux mi faces cxlindiiquei, et par conséquent, à leur intersection commune qui en a;énéral est une hgne courbe. Donc ausà le lieu des points dont les coordonnées sati'ifonl en même temps aux équations (i) et (a), tsX une li^ne ce qui esige que les lieux géométriques de ces équations soient dei mrfuces, et non rff t solides, comme on pourrait d'abord se l'imaginer

On doit remarquer cependant que si 1 équation (i) outre les variables 3:,y, z, renfermait une ou plu^eurs indéterminées cette équation fournirait autant de surfaces différente'; que 1 on pourrait donner de valeurs aux indéterminées, en sorte que dans ce cas le heu géométrique serait l'assemlilage d'une infinité de suifices ou de couches mSniment minces, qui formeraient alors, à propiement parler, un solide 403. SuppMons actuellement que l'on ait trois équations,

F(;r,r,î)=o, F(,r, j, s)=. o, r[x, r, z) = o, existant en même temps pour différents points.

Comme les deux premières équations caractérisent tous les points de la ligne d'intersection des surfaces exprimées par ces équations, que la première et la troisième caractérisent la ligne d'intersection des surfaces qui leur appartiennent, il s'ensuit que les trois équations conviennent aux points où ces lignes se rencontrent, c'est-à-dire à ceux qui se trouvent à la fois sur les trois surfaces, et l'on obtiendra les coordonnées de ces points en éliminant x, y, z entre les équations proposées.

Le nombre des points communs est égal au nombre des systèmes de valeurs réelles de x, y, z, propres à vérilier ces équations simultanément,

448 TEANSFORJlATIOTf CHS COORDONNÉES DANS l'rSPACJÎ.