i. Oq peut conclure des considéralions précédentes
1° Qu'une seule équation entre trois variables a^, j-, z détermine analytiqueraent une surface;
a° Que le système de deux équations en x, y, z caractérise une lignr courbe désignée ordinairement sous le nom de caurbe à double courbim- (comme tenant de la nature de l'une et l'autre surface représentées par les deux équations} ; cette même courbe est encore déterminée parles équations de deux de =es projections' ce sont (402) les équations que l'on obtient en élimmant successif empnt a: et ^ entre les équations proi,OBées
3 Que le système de trois LiuatiOn« en j; j a fixe h pcsition d un certain ncmbre de points dans 1 espace en sorte qu il n est pas toujours nécessaire de se donner exj licitement les coordonnées de ces points mais bien les équations de trois surfaces sur leb [uelles ils se trouvent places
Ces premières notions étant etiblies ncus allons nous occupei de la resolution dun problème imlo^ue i c lu pir lequel nous aïons faitpre Léderla fi eohe des courbes du econd degré eest et lu de la trdn=ror mation des coordonnées en trois dimensions.
^ DES COOnUO.-VNEBS DANS LESPAC
Etant donnée l'équation d'une surface rapportée à des a trouver l'équation de la même surface rapportée à de n
La méthode consiste, comme on l'a vu au n" Hl , à esprimet les anciennes coordonnées en fonction des nouvelles, puis à substituer les valeurs ainsi obtenues dans l'équation donnée.
Nous ne traiterons point ici la question la plus générale, parce que les formules en sont peu usitées, et nous nous bornerons à considérer les cas suivants :
406, Pbeuier cas. — Passer d'un système de coordonnées rectangulaires ou obliques à un système de coordonnées parallèles d'origine diffé-
Soient AX, AY, AZ [Jig. 194) les axes primitifs; A'X', A'Y', A'Z' les nouveaux que nous supposons parallèles aux premiers, et prolongés jusqu'à leur rencontre avec les plans des yz, xz, xy en B, C, D ; les parties A'B, A'C, A'D représentent les coordonnées de la nouvelle ori^jine A' rapportée aux anciens axes. .
TRAKSFORMATION DES COORDONNÉES DiKS l'eSPACE. 449
Si d'un point quelconque M de la surface, nous menons les coordonnées MP, MQ, MR, ces droites perceront les plansj's', x' z\ x'f aux points P', Q', R', et l'on aura
MP -^ .!-, MQ = j-, MR ^ r, puis
MP'=^'', MQ'=)-', MR'=::', ot
PT=A'ÎÎ=«, Q'Q = A'C-i, R'R = A'D=.-f;
ce qui donne, par conséquent, les relations
Telles sont les formules au moyen desquelles on passe d'un système quelconque de coordonnées i un sytèmt, parallèle.
Les signes des quantités a h c font connaître (364) dans lequel des haii angles tiiedres formes par les troi>- axes primitifs se trouve la nouvelle ori^ne
If. M ~ Dans tout ce qui ^a siinre nous supposerons que l'origine reste la même parce que si elle étiit différente, on commencerait par transporter les ases parallèlement a fu\ mêmes d'après ies formules cidessus, et 1 on changeiait ensuite la direction des ases autour de la nou-
407. Second cas. — Passer d'un système rectangtiloire à un système oblique de même origine.
La méthode que nous emploierons pour obtenir les formules relatives à ce nouveau cas, est fondée sur la proposition suivante ;
Soient LL', KK' (Jig. igS) deux droites indéfinies situées ou non situées dans un même plan. Abaissons de deux points A, B de la première droite des lignes An, Bé, perpendiculaires sur la seconde ; la partie ab de cette seconde droite est. dite la projection rfeÂB sur KK'. Cela posé, je dis que
o5=ABcos<', c désignant l'angle que les deux droites LU, KK' font entre elles.
En eifet, soient menés par les points A, B deux plans MN, PQ, perpendiculaires à KK'; ces plans contiennent les deux perpendiculaires A«, B6
Du point A tirons ensuite AI, perpendiculaire sur !e plan PQ, et joignons le point B avec le point \ où cette perpendiculaire rencontre PQ; le triangle AIB est rectangle en I, et donne
AI = AB cosBAI.
Mais AI -— nb, comme parties de parallèles comprises entre pliins parai-
Ai,, de VAL à lu G. 29
45o TEAKSFOBllATION BES COORDONNÉES DANS l'eSPACE.
lèles ; d'ailleurs l'angle BAI n'est autre chose que l'angle des deux droites LL'j KR'. Donc enfin
«& = ABcos»;
c'est-à-dire que la projection d'une droite sur une autre est égale ait produit de la droite multipliée par le cosinus de l'angle qu'elle forme avec sa ptojectioii.
Appliquons ce résultat à la question proposée.
Soient AX, AY, AZ (j%- '96) trois ascs rectangulaires; AX', AY', AZ' trois axes obliques.
Menons d'un point quelconque M de la surface les anciennes coordonnées MP, PQ, AQ, et les nouvelles iUP', P'Q', AQ', puis par les points M, P', (y, concevons trois plans perpendiculaires à AX.
U est évident que le plan mené par le point M coupe AX au point Q, puisqu'il se confond avec le plan MPQ. Quant aux deux autres, soient /;', q' leurs points de rencontre avec AX.
Il résulte de cette construction que la dislance AQ ou j: se compose ds trois parties A9', q'p', p'Q, que l'on peut regarder comme les projections respectives des coordonnées AQ', P'Q', MP' ou x', y', z" sur l'axe des ^; Donc, en convenant (vojez le n" 398) de désigner par (x', x), (x', ^), {z\ x) les angles que les nouveaux axes forment avec l'ancien axe des x, on aura, d'après le théorème précédent.
Concevons actuellement qu'on ait projeté de la même manière les coordonnées a:', x\ ^ sur chacun des deux axes des jet des z, et employons des notations analogues aux précédentes ; on obtiendra également
(2) j-=.'.it'cos{.i-', r}-[-jr'cos{j', j)-i-s'cos(3', r),
(3) z = û:'cos[x\ z| + 7'cos(j', z]-^- z'co&{z', z).
Les ne«/ constantes qui entrent dans ces trois formules sont d'ailleurs liées entre elles (379) par les relations
(4) I cos'(.i-,.r)-i-cos'(r', j)+cos=(r',zl=i,
' COS'fî', J^)-HC0S'(3', J']+COS'(ï', z) = l.
408. Comme application immédiate des formules qui viennent d'Être obtenues, proposons-nous de trouver l'expression de la distance entre deux points U, M' [fig. 197), rapportés à des axes obliques.
Afin d'éviter toute confusion dans les notations, nous conviendrons.
( DES COOnrONKÉES DANS l'espâce. 42»
pour la résolution de cette question, d'appeler x, y, z, x', j', s',..,, les coordonnées do points rapportés à un système d'axes rectan^ulaireu, et X, Y, Z, X', Y', Z', - ■ . , les coordonnées des mêmes points rapportés à des aies obliques.
l«s formules précédentes deviennent alors
^ = X COS(X, .c)h- Y COS( V, x) ■+■ Z cos(Z, .r],
j=Xcos(X,ji + Ycos(Y, rj-HZcos[Z, j),
î =Xcos(X, 3)+ Y fios(Y, î)-t-Zcos(Z, aj,
cos'(X, a;)+cos'(X,jj-i-cos'(X,3) — I,
cos=(Y,a.)+cos'(Y,j-)+cos'(Y,^) = i,
cos'(Z, ^) + cosMZ, ji+ cos'tZ, j) = ..
Cola posé, on a trouvé (369), pour le carré D' de la distance entre doux points rapportés à des axes rcctangalaires,
et tout se réduit à y remplacer j-',j-', a', x°,y\ z" parleurs valeurs en fonction des nouvelles coordonnées X', Y', Z', X", Y", Z", Or, d'après les notations convenues, on a nécessairement
^■'-,>-"=(X'-X")cos(X, .7.-)-K(Y'-Y'')cos(Y,^;)
+ (Z' — Z^jcoslZ, ,r), r'-y.-(X'-X'')cos(X, .rl + (Y'-Y")cos(Y,j)
+(Z' — Z'')cos(Z, y), 3'-î" = (X'-X°)cos(X, 3)-i-(Y'-Y")cos(Y, z)
+ (Z' — Z'')coslZ, z),
oKpreasions qu'il faut élever au carré pour faire ensuite la somme de ces carrés.
En exécutant cette double opération, il est facile de reconnaître que le résultat doit se composer de deux parties principales : i° de la somme des carrfs
ayant respectivement pour multiplicateur Ui somme des carrés des cosinus des angles que forme c/iacun des iioweaux axes avec les trois axes primitifs, laquelle dernière somme est égale à i , d'après les trois dernières des relations ci-dessus ; ce qui réduit la première somme à
yGoosle
452 TRANSFORMATION BES COORDONNÉES DANS i/E5PSi;E.
a" de !a somme des doubles produits
a(X'-X"jl¥'-ï''], a|X'-X"}(Z'-Z°), 2(ï'- ï") (Z'- Z"),
ayant respectivement pour multiplicateurs la somme des pitxhdts deux à deux des cosi/ius des angles que forment d'abord les nouoeaux cuces des x et des y avec les trois axes primitifs, puis les nouveaux axes des x et des z avee les mêmes axes, et enfin les noiweaitx axes des y et des z
Or, en vertu de ce qui a été dit au n" 396, les trois multiplicateurs dont noua venons déparier ont respectivement pour valeurs
eos(X, Y), co3(X, Z), cos(Y, Z); donc enfin
D' = iX'-X"i'+(Y'-Y'•)'-^-(Z'-^°)'
-^ a(X'- X°] lY'— Y")cos(X, Y)
+ a(X'-X")(Z'~Z'')cos{X, Z)
^a(Y'- Y')(Z'-Z']cos(Y, Z).
Telle est l'expression la plus générale de la distance entre deux points. C'est en même temps l'expression de la diagonale d'an parallélépipède oblique.
409. Troisième cas. — passer d'un système rectangulaire a un ntttrc système rectangulaire de même origine.
Les formules sont les mêmes que dans le cas du n" 407; mais il Faut joindre aux relations déjà établies entre les cosinus, celles qui expriment (378 et 380] que les nouveaux axes sont perpendiculaires deux à deux; ce qui donne
COS(^',J:)C0S(j',.r] + COS{.c', r)cos (.)-', j) + COS[.t',;:)C0s(7', 2) = o, COS(.l-',j:)C0S(a'. .i-l-l-C0s(-i;',j)COSf3',7) + C0S(j7',3)cO9(î',s) = o,
cos(r',;c)coa(i', x)^co&[j',y)zos(z\ y) + coi(y\z]<:as{z\z) = o.
On voit donc que les constantes qui entrent dans les formules relatives au cas actuel sont liées entre elles par six relations différentes , d'où il suit que de ces nei;/ cosinus, il n'y en a que trois dont on puisse disposer arbitrairement.
U existe, en effet, d'autres formules propres à faire passer d'un système rectangulaire à un autre de même espèce, et dans lesquelles on ne fait entrer en considération que trois constantes, savoir :
r L'angle que la trace du plan des x 'y' sur le plan dos xy forme avec l'ancien axe des x ;
i coorconsKes dans l'espace. 453 2° L'angle qnD font enlro oux le plan des jt'jc' et celni des jy; 3° Enfin l'angle que tait l'axe des x' avec la trace dont nous venons de parler.
Il est aisé de reconnaîtra que ces données suffisent pour fixer la position des trois -nouveaux axes, par rapport aux anciens ; mais ces formules étant très -compliquées et peu symétriques, nous renvoyons, pour leur détermination, au tome II, n" i^', de la Correspondance' de l'École Polytechnique, ouvrage dans lequel nous avons puisé également la méthode suivie dans ies deux derniers cas de la transformation des coordonnées.
Cfis particuliers du précédent.
A\Q. rHEHiiiREaEOT. — On peut, en conservant l'un des anciens axes, celui des z (fig. 198), par exemple, changer la direction des deux autres axes dans le, plan des xy.
Dans ce cas, on a évidemment
COS(j', ,r) = cos[90°+(.r', .r)]--= - sin(j;', ^],
COs[.ï',jj=Bin{^',^l, cos(,r',j) = cos(,r',,^'), ces(j', r)=o,
COs(.e', s|=0, C0E(r'.sj = O, COs(a',s)=ii
ce qui donne, pour les formules correspondantes,
N.B.— Les deux premières sont identiques avec colles du n^HD, parce qu'en effet tout se réduit à une simple transformation de coordonnées en deux dimensions.
411. Secondement. -— On verra plus loin que la discussion d'une surface est fondée principalement sur la détermination de ses intersections par des plans menés sous différentes inclinaisons. Or l'élimination d'une va ■ bl p pie, entre l'équation de la surface et celle du plan
do 1 à éq ation qui représente (402) la projection de la courbe d' l ect 1 plan des ^, mais qui, en général, n'apprend rien
su 1 l d tte courbe; et il serait important de pouvoir rfi^rfu/re d l éq al I p ée une équation de la courbe elle-même rapportée à de 00 d pn es dans son plan.
454 TRANSFOBMATION DES COORDONNÉES DANS L'eSPACE.
Tel est le cas particulier de la transformation des coordonnées que nous avons à traiter.
Remarquons d'abord que le plan sécant, qu'on peut supposer, pour le moment, passant par l'origine A [Jlg. igg), est complètement déterminé par sa trace AX' sur le plan des a^/, et par i'angte qu'il forme avec celui-ci.
On obtient cet angle en concevant au point A deux droites AL, AY', perpendiculaires à la trace AX', l'une située dans le plan des xy, l'autre dans le plan sécant.
Soit posé
X'AX =:=<;, et UY'='J.
M étant un point quelconque de la courbe d'intersection, abaissons MN perpendiculaire sur le plan des ^y, et tirons NP parallèlement à l'axe A¥; AP, PN, NM sont les .r, /, z du point M. Prenant ensuite les deux droites AX', AY' pour nouveau système d'axes, menons SIP' parallèlement à AY',
