AP'=.'7', MP' =
Comme les coordonnées ^, y, z du point M sont déjà liées entre elles par l'équation de la surface
il s'ensuit que si, par un moyen quelconque, on parvient à exprimer x, y, 3 en fonction des quantités a;', y', "^ etfl, et que l'on substitue ces valeurs dans l'équation de la surface, on aura l'équation demandée.
A cet effet, traçons P'N, et menons P'I parallèle à AY, KK parallèle àAX.
Les triangles rectangles P'MN, P'NK, P'AI donnent successivement
MN --- !\lFsinMP'N,
P'N^-- MP'cosMP'iN ou P'N^r'cosfl; KK = IP = P'N sinKP'N = r'cos8 Bin'j>
{ car les angles KP'N, X'AX sont égaux comme ayant leurs côtés respectivement perpendiculaires);
P'K = P'NcosKP'N = r'cosecosî>; AI = AP'cosP'AI = .r'cos»; P'I-- AP'sinP'AI^-..'sin-i).
DES DIFFÉKTLNTS r.ENRES DE SSÎEFACES. ^55
Par suite ijîg. 199),
KP -■- IK ^ P'I - P'K ou y ^ .-■'sinï - j'cosO cosu ; AP ^ AI + IP ^ AI -H- KK ou .7: = .,;'ms-^ -,- j-'cosS siiiq.. Ainsi les formules ciiercliées sont
; = .r'cOStp 4- j'coàSsiniy, - = .K'sinf — j'cosOcoSf ,
et i! ne s'agit plus que de reporter ces valeurs de x, y, z dans l'équation de la surface.
Ordinairement, les angles ^ et 6 relatifs au plan sécant sont donnés à priori; mais on peut aussi les déduire de l'équation même du plan A^ + Bj -1- Ca H- D = o.
Ona,enciïet (398),
• <JV^ Ji"-i- c'
quant à l'angle ç, comme l'équation de la trace si
Aa^ + Bj -I- D ^ o, il en résulte
A D ^' ~ li'"^ S)'
N. B. — Zi le plan sf^cantae passait pas par l'origine, il suffirait d'augmenter les seconds membres des formules ci-dessus, respectivement des coordonnées a, b, c, de la nouvelle origine, en vertu de ce qui a été dit au n" 406.
La même remarque s'applique à toutes les transformations des coordonnées, exécutées dans les numéros précédents.
Passons à l'étude des différents genres de surfaces.
Quoiijue nous ayons poui jirAni ipil bui, dani. ce chapitre, d'exposer la théorie des surfaces du -.eoind cle};ré, nous cioyons devoii donner quelques notions sur certaines suitaces auxquelles on est bouvent conduit par
45G UTA Dlfl'ÉllKKTS GEMRES DE SURFACES.
la résolution de problÈmes indéterminés en trois dimeTisions, parce que, dans la discussion même de l'équation générale du second degré, nous retrouverons les caractères qui appartiennent a«s surfaces que nous allons faire connaître.
De la surface sphériqiie et de son plan tangent.
412. Dne surface sphérique étant celle dont tous les points sont également éloignés d'an même point nommé centre de la surfïice, si l'on désigne par X, y, z les coordonnées d'un quelconque de ses points, par a, 6, 7, celles de son centre, et par r son rayon, on a nécessairement (3C9 et 408) pour l'équation de cette surface,
lorsque les axes sont rectangulaires) et
lorsque les axes so.it obliques.
La forme compliquée de cette dernière équation en permet rarement l'usage.
La sphère étant rapportée à son centre comme origine, et les axes étant rectangulaires, son équation devient (3) ^■.+ ,-.^^'==,-
et c'est principalement dans ce cas qu'on l'emploie.
