L'équation (i) étant développée, prend la forme

^'-+- j^'-K s'+Â.r -+- B/ + Cï + D = o.

Eéciproqucnient, toute équation de cette forme caractérise une surfacs <i dont le centre a pour coordonnées

et qui a pour rayon

Nous renvoyons pour la démonstration de celte réciproque à celle qui a été donnée au n" 85 pour le cercle, comme étant, en tous points, semblable.

AM. Pour déterminer la nature de l'intersection d'une sphère par un

plan, il suffit de remplacer dans l'équaLion de la splière ^. y, ^ psp leurs valeurs tirées des formules du n° 411,

Or on obtient ainsi une équation en x' , j', dans laquelle le rectangle x'j disparait do lui-mÈme, et les coefficients de j^" et de /"sont égaux à 1.

Donc (85) cette équation est celle d'un cercle.

Les calculs n'offrent aucune difficulté.

4iS, Du, plan tangent à la sphère. — On sait, en Géométrie, que ce plan est perpendiculaire au rayon qui passe par le point de contact ; c'est cette condition qu'il faut traduire en annlj-fe.

Soient a:', j', 3' les coordonnées du point de contact, l'origine étant placée au centre de la sphère, et

a,' = az, r = *2

les équations du rayon passant par ce point.

Comme les coordonnées x\ y', z' doivent vérifier les deiiK équations, on a les relations particulières

d'où l'on déduit

D'un autre côté, le plan tangent devant passer par le même point, son équation est (387]

et puisque ce plan est perpendiculaire au rayon considéré, on doit avoi;- (380)

A = «C, B=^C; d'où

d'où, substituant dans l'équation du plan,

yGoosle

453 DES BiFi-iînnriTS c;mu):s i>i: suRFiCEs.

ïelie csl l'équation du plan tangent à la surraco spliérique, rlont l'i/Cjualion

Si on la développe et qu'on ait é^arâ à la relation elle devient

équation d'une forme plus simple et ne différant de celle de la surface sphérique qu'en ce que les carrés J^', j', s' sont remplacés par. r^', 7/',

iV. -S. — Si l'origine était placée ailleurs qu'au centre, il faudrait, en désignant par et, 6, 7 les coordonnées du centre, remplacer -c, j-, s, x', X', z' respectivement jiar

dans l'équation (s); co qui donnerait

C'est sous cette dernière forme que l'on considère ordinairement l'équation du plan tangent, les axes étant rectangulaires, et l'origine étant placée ailleurs qu'an centre.

Des surfaces cjUmlriqitcs.

iI6. On nomme ainsi toute surface engendrée par le mouvement d'une droite qui glisse parallèlement à une autre droite donnée de position le long d'une certaine courbe appelée la directrice de la surface ; la droite mobile s'appelle générathice.

Tâchons d'exprimer ce caractère généra! par l'analyse.

Soient

les équations de la génératrice considérée dans une position quelconque, et

celles de la courbe qui sert de directrice.

Puisque la génératrice, dans son mouvement, ne doit pas cesser d'être parallèle à, elle-même, il B'ensuit (375).que les quantités*!, 6 restent les mêmes pour toutes les positions de la génératrice; mais les quantités b, 6, qui (388) expriment les x et les y du point où la génératrice rencontre

SURFACES CYLISBEIQUIES. 4^9

le plan des iij, sont constantes pour tous les ])oints d'une même position de la génératrice, et varient lorsque le point passe d'une génératrice à une autre. Il doit donc nécessairement exister une certaine rdation entre ces quantités a, ê, ou leurs égales x^az, y — bz, puisqu'elles, sont constantes ensemble et variables ensemble.

ASn de parvenir à cette relation, remarquons que la génératrice devant, dans toutes ses positions, rencontrer la courbe qui sert de directrice, les équations de cette courbe et celles de la génératrice doivent exister simultanément pour tous les points d'intersection ; et comme elles sont au nombre de quatre, si l'on élimine les coordonnées x, j, s, on parviendra à une équation entre a, g, et des quantités connues, qui ne sera autre clicse que la relation cherchée.

Cette relation, que nous pouvons représenter en général par

/[a,S)=.o ou e=/(^),

devient, lorsque l'on y remplace a, S par leurs valeurs x— az,y— bz,

f[;r-az,r~bz)=o ou f-bz^.f{x-a^).

Pour fixer les idées, proposons-nous, par exemple, de trouver l'équation du cylindre oblique à hase circulaire.

Soient (i) ^^-^r^r^ et .= o

les équations du cercle qui doit servir de directrice, et que nous supposons, pour plus de simplicité, placé dans le plan des xy, le contre étant d'ailleiirs silué à l'origine.

Les équations générales de la génératrice sont toujours

Or, pour exprimer que la génératrice, dans toutes ses positions, rencontre le cercle, il faut combiner entre elles les<7(Mireéquations(i)et (a). D'abord, l'hypothèse z = o, introduite dans les équations (a), donne

d'où, substituant ces valeurs dans la première des équations [i),

c'est la relation qui lie entre elles Iss quantités a, S. Si maintenant on reporto à la place do h, S, leurs valeurs

4Go DES DIFFftnEKTS GESBES RE' SURFACES.