X-bz, dans(3), il vient

pour l'équation du cylindre oblique à base circulaire. 417. Il est facile de recontiaStre, à posteriori, que l'Équation

appartient à une surface composée d'une infinité de lignes droites paroilèles entre elles; ce qui caractérise la surface cylindrique. Prenons, pour plus de généralité, une équation de îa forme

et dont l'équation

n'est qu'un cas particulier.

Si l'on coupe la surface par une suite de plans parallèles entre eux, et ayant pour équations

A,K-t-Bj-^-Cs = D, D', D", D'",..., l'équation (i) devient, pour chacune des valeurs D, D', D",. . .,

M.Ï-I-N/ + PÏ-Q, Q', 0", Q'",--M les lettres Q, Q',. . ., désignant des quantités indépendantes de a-, y, z. Ainsi les lignes d'intersection se trouvent sur une autre suite de plans parcillètes entre eus:, et sont, par conséquent, des àY(A\^ parallèles entre

Des surfaces coniijacs.

418. On donne cette dénonnination à toute surface engendrée p/ir le mouvement d'une droite qui passe constamment par un point donné (qu'on nomme centre de la surface) et assujettie à glisicr le long d'une courbe aussi donnée de position dans l'espace ; cette PJDurbe s'appelle directrice, et la droite mobile est dite la génératrice.

Soient ^',f\ s' les coordonnées du centre delà surface, et

les équations do la directrice. Celles de la génératrice sont (374) do la forme

Observons maintenant que, pour touto surface conique, lorsque le point

SDRFACES CONrQUES. ^'^I

c, j-, z clKinge de position, sans quitter la même génératrice, les quanlités a et b, ou leurs égales

sont constantes ; mais elles varient toutes deux si le point passe d'une génératrice à une autre. Donc ces quantités, qui sont constantes et variables ensemble, dépendent, d'une certaine manière, l'une de l'autre.

Pour obtenir cette relation, il sufSt de combiner entre elles les équations (i) et (a), qui, étant au nombre de yuo(?y, donnent lieu, par l'élimination dé x, Xi ^-^ ^ une éqimtion de condition entre a et b.

Substituant dans cette équation, pour ces dernières quantités, leurs valeurs

on obtient enEn pour l'équation de la surface conique

ff. B. — SiVorigino des coordonnées est wicenire de la surfac quel cas on a

l'équation se réduit à

Prenons, par exemple, le cône oblique à base circulaire, et supposons que, la base étant située dans le plan des .17, le centre de la base soit à l'origine, auquel cas on a, pour la directrice,

Combinons-les avec les équations de la génératrice

L'hypothèse ï = 0, introduite dans celles-ci, donne

d'où, substituant dans la première équation,

c'est l'équation de condition qui doit exister entre les quantités a, 1 même temps que les équations de la génératrice.

462 riîS llIFFCEliNTS (-.KNRES DE SlinFACES.

Substituant pour (I, b, leurs valeurs ' —j - — —^7 : on obtient

OU réduisant

pour l'équation demandée.

Dans le cas du cône divit, c'est-à-dire lorsque le centre du côno est situù sur Vaxe des s, on a à la fois

et l'equalion précédente se réduit à

On pourrait, en faisant usage des formules du n''iH, obtenir les difiïirenls genres d'intersection de la surface conique par un plan ; mais nous ne nous arrêterons pas à cette discussion, qui a déjà été traitée dans le dernier Chapitre de la Géométrie analytique à deux dimensions.

419. Réciproquement, toute équation à trois variables, de la forme

(.c', y, z' désignant les coordonnées d'un point fixe dans l'espace), caractérise une surface conique.

En effet, coupons la surface par une suite de plans qui aient pour équa-

comme l'équation (1) devient alors

les lignes d'intersection de îa surface par les plans correspondant à ia première série d'équations se trouveront également situées dans les plans exprimés par la seconde série; d'où il suit que toutes c> sont des lignes droites.

D'ailleurs, un système quelconque de deux équations de la premîè

par exemple, repri5sente une droite passant par le point qui a pour coordonnées a;', y, ^'■

On peut donc regarder la surface comme composée d'une infinité do lignes droites qui, toutes, passent par ce même point.

Dus surfaces eanoïilcs.

420. On appelle ainsi toute surface engendrée parle mouvement d'une droite qid, sans cesser d'être parallèle à un plan donne, glisse à la fuis le long d'une droite fixe de position dans l'espace et appelée première uiRECTRicE, puis le long d'une courbe aussi donnée, et appelée seconde

Pour faire concevoir une mil 11 g é t pposons que l'on ait

mené dans l'espace une infin t d pi parallèl plan donné; chacun

d'eus coupe la droite fixe p t t 1 co b en un ou plusieurs

points. En joignant ces de p ts cel le la droite fixe, et

répétant cette même opérât p t 1 pi p rallèles, on obtient une infinité de droites dont 1 se bl 1 1 / faee eonoïde.

La dénomination de ces te d f t d l'analogie qu'elles

ont avec les surfaces coniques. Le centie ou le summit du cône se trouve ici remplacé par la première directrice.

Passons à la recherche de leur équation.

Pour plus de simplicité, nous prendrons pour axe des z la première directrice, pour plan des -ty celui auquel la génératrice ou la droite mobile doit Être constamment parallèle. Les axes des x et des j seront d'ailleurs deux droites menées à volonté dans le plan dont nous venons de parler, et par le point de rencontre de ce plan avec la droite prise pour axe des z. On voit, d'après cette construction, que la surface se trouve, en général, rapportée à des ases obliques.

Cela posé, soient

les équations de la courbe prise pour seconde directrice.

Celles de la droite mobile, considérée dans une position quelconque, seront de la forme

puisque sa distance au plan des ^j, comptée suivant l'axe des a, doit êlre

464 DIÎS DIFFÉRENTS GENRES DE SUBFACES.

coiutaiitij, et que sa projection sur le plan des xy passe nécessairement par Y origine.

Or i! est évident que, pour tous les points d'une certaine position de la

génératrice, Ses quantités m et n, ou leurs valeurs — et s, restent les

mêmes; mais elles varient d'une position à une autre. Ces quantités étant semble et variables ensemble,' sonl fonction l'une de l'autre.

est ia forme générale de l'équation des surfaces mimïdex.

Pour déterminer la nature de cette fonction, dans chaque cas particulier, il faut éliminer ^, /, z entre les équations (i) et (a) qui doivent exister simultanément pour chaque point de la surface ; ce qui donne lieu à une certaine relation entre «j, n. Si l'on remplace ensuite dans cette relation m et n par leurs valeurs - et z, on obtient l'équation demandée.

421 , Comme application, supposons que la seconde directrice soit aussi une ligne droite, et aQn d'arriver à une équation d'une forme trôs-simple, prenons un système d'axes tout particulier.

Soient CC', DD' [fig- 200) les deux directrices.

Imaginons par la première un plan parallèle à la seconde, et prônons ce pian pour celui des js.

L'un des plans auxquels la génératrice doit Être parallèle rencontrant las directrices en A et B, par exemple, rien n'empêche de prendre pour axe des x la ligne .\B, représentant une des positions de la génératrice.

Ce même plan coupe celui dont nous avons parlé d'abord, suivant une certaine droite qui sera l'axe desj-; on conserverad'ailleurs, comme dans la formation de l'équation générale de ces sortes de surfaces, la première directrice pour axe des a.

Cela posé, d'après la situation des deux directrices par rapport aux plans coordonnés, on a, pour les équations de la seconde DD',

et pour celles de la génératrice, comme au n° 420,

et il ne s'agit que d'éhminer x, y, z entre ces quatre équations. On arrive ainsi à l'équation de condition ma-^ bu:

yGoosle

SLRFACES BE llÈVOLUTEOrr. ^65

d'ofi, en remplaçant m et n par - et ;,

Telle est l'équation de la surface engendnîe. Soit fait, dans œtle équation, y — o; il en rfeu!t3

d'où