OU

Le premier système [/ = o, j: = o] représente l'axe des ï, et le, seconJ [y = o, s = o] celui des a: ; ce qui doit être, puisque chacun de ces ases appartient à la surface, d'après sa génération.

Nous aurons occasion de revenir sur cette sorte de surfaces, qu'on trouve dans la Géométrie de Legendre sous la dénomination do quadrila- TÈKB GAUCHE, et qu'on désigne également sous le nom de plan gauche.

Des surfaces rie révolution .

422. Oe nomme ainsi lo'ile surface engendrée par la réi'otuiion d'une ligne [droite ou courbe), dite la géNÉRATBice, autour d'une droite fixe qu'on appelle /'axë DE RÉVOLUTION, de manière que cliacun des points de la génératrice décrive une circonférence de cercle dont le plan est perpendiculaire à l'axe, et le centre est situé sur cet axe.

Pour obtenir l'équation de la surface, remarquons d'aiiord que l'une quelconque des circonférences dont elle se compose d'après la définition, peut toujours être exprimée analytiquement (414) par le système de deux équations dont l'une est celle d'un plan perpendiculaire à l'axe, l'autre est l'équation d'une surface spliérique ayant son centre placé sur l'axe.

Soient donc

les équations de l'asc [a., g, 7 désignant les coordonnées d'un point pris à volonté sur l'axe); celles du plan et de la sphère seront (389)

et (412|

Los quantités k et r', qui entrent dans ces équations, sont des quantités

Jln.ife l-ytl. à fa G. 3o

DES DIFFÉRENTS GENliES DE SUBFACES.

semble pour tous les points d'une mÔme circonfârence, et variables ensemble lorsque le point de la surface de révolution passe d'une circonférence à une autre; ainsi elles simi jonction l'une de l'autre, «t l'on a

(3) (j.„)"+[j-e)'+(2^.;]==F(rt:r + 6j+=),

pour l'équation générale des surfaces de réoobition.

La nature de la fonction désignée par le caractère F dépond esscntielkment de la nature de la génératrice, et se déteririine facilement dès que l'oo connaît les équations de cette génératrice.

Soient en eiîet

ces équations. Comme la circonférence représentée par le S}«lème des équatioiK (i) et (2) est engendrée par l'un des pomts de la génératrice il faut exprimer que celle-ci, dans sa premîeie position et h uonle renée ont un point commun ; ce qui se fait par 1 élimination de i > ■entre leurs équations qui sont au nombre de quatre

On est ainsi conduit à une relation entre r' et A dai s h juell il s iRit de remplacer ces quantités par leurs valeurs

{^-cy->-[f-SY+{z-yy et rî^C +

423. On suppose souvent, pour plus de simplicité, que Vaxe de j-évotuiion se confond avec l'un des axes coordonnés, celui des z par exemple.

Dans ce cas, l'une quelconque des circonférences placées sur la surface se trouvant dans un plan parallèle au plan des xy, et ayant son centre sur l'axe des z, peut être représentée par les équations

dont la première exprime un plan horizontal, et la seconde, la surface d'un cylindre droit dont l'axe se confond avec l'axe des z. On a donc, quelle que soit la génératrice de la surface,

(5) ^■+j-=F(ï), ou a = F(,,-' + j'J,

pour l'équation de cette surface.

On trouverait de même

x-'^z'=V[x), ou j = F(.j^' + î'), j= + :'=F(.ï;), ou ^=F{7=4-j'),

pour les équations des surfaces de révolution qui auraient pour axe celui des / ou celui des x.

SUm'ACES DE RÉVOLUTION. 4^7

&i. Soit proposé, pour première application, de trouver la surface engendrée par la léeoluiion d'une droite ijuelconque autour ih l'axe des a.

Si, en vue de simplifier les calculs, on prend pour ase des x la droite sur laquelle est siluée la plus courte distance entre la génératrice et l'axe des s, auquel cas la génératrice est nécessairement parallèle au plan des/3, les équations de cette génératrice sont alors

Celles do la circonférence étant d'ailleurs, comme o précédent,

l'élimination fie .r, r, z donne lieu fi la relation

d'ofi, en remplaçant /■' et k par leurs voleurs ■>:

Telle est l'équation de la surface engendrée.

425. En second lieu, soit prise une ellipse pour génératrice, et supposons que son centre soit à l'origine, et le grand ace sur l'axe des z. Les équations de la génératrice sont alors

et en les combinant avec celles de la circonférence

on arrive à Véquathn de condition

d'où, remplaçant r' et l- par leurs valeurs,

La surface ainsi obtenue est celle de I'ellipso'ide de révoluhon. Prenons maintenant pour génératrices les hyperboles ayant pour équations