Considérons enfin une parabole ayant pour équations
x = o, x'= tpz.
Leur combinaison avec les lîquations
donne lieu à la rdalion
^pl --- r^ par suite, à l'équation
x' + j^=iipz, :
c'est celle de la surface d'un pauaboloïde iiiî uévolution autour do l'axe desz.
Celle surface jouit d'une propriété fort curieuse.
Si on la coupe par un plan quelconque
3 = Aj: + Bj-i-C, on oLlicnt, pour l'équation de la projection sur le plan des ^7, x' + j-= ^piKx-i-'Br-i-C),
équation que l'on a vu (85) être celle d'un cejc/e.
Ainsi, quelle que soit la courbe A' intersection d'un paraboloïde de révolution par un plan, la projection de cette courbe sur un autre plan peipendiculaire à l'axe est constamment une circonférence de cercle, excepté toutefois lo cas où le plan sécant est parallèle à l'axe; car on obtient alors pour intersection une ligne droite.
Nous reviendrons sur les diverses surfaces de révolution dont nous venons de former les équations.
MNimiQUES DU SECOSD DECIll
§ III. ~ Discussion r
a SECOND DESKE.
427. Les bornes que nous sommes obligé de meltre i cet ouvrage ne nous permettant pas de donner ici une théorie complète des surfaces du second degré, nous nous attacherons surtout à faire ressortir les circonstances relatives à leur classification, ainsi que les propriétés qui résultent immédiatement des équations les plus simples auxquelles il est toujours possible de ramener une équation quelconque du second degré à trois variables. Nous suivrons d'ailleurs, pour la discussion de cette équation, une marche analogue à celle que nous avons employée, dans le deuxième Chapitre, pour l'équation à deux variables.
L'équation la plus gér.irale des surfaces du second degré étant
ou peut d'abord [ ISi), par une première transformation de coordonnées, faire évanouir les trois rectangles 73, a;s, xy, c'est-à-dire ramener l'équation à la forme
[Voyez, pour cet objet, le deuxième volume do la Correspondance de l'École Polytechnique, 3' numéro, ouvrage dans lequel j'ai consigné la démonstration complète de cette proposition, ainsi qu'une Note assez étendue sur les surfaces de révolution du second degré.)
Il résulte de cette proposition que les surfaces représentées par l'équation (a] sont identiques avec celles que comprend l'équation (i)-
Voyons actuellement si, au moyen d'une translation d'origine, nous ne pourrions pas (136) faire disparaître les termes linéaires en j, j, a.
Or, en substituant les formules
dans cette équation, et en égalant à o les coefficients de x',y',z\Qn obtient les équations de condition
iWa + W=o, -iWb-i-W^o, 2Mwc-i-N = o; d'où l'on déduit
Tant que la disparition des trois rectangles ne donne lieu à la dispari-
4';o '•l H ES CILINDRICUES BU SI OMJ BLGUÈ.
tion d'aucun des trois carrés les qu-mtiiés M M M" sont différentes de o, et la nouvelle tran«f rmat on est poss ble en d'autres termes, l'équalion 1 eut Être ran ei ée à Ii ft e
(3) M^■^-M'J-'-HM"J:'^-P= o
(P ayant pour valeur
Mr-i- M'i"-' H- MVr -h Nr -+- N'i^ -t- N"./ + D).
428. Si l'on suppose que l'un des carrés s'ôvanouisso en même temps que les rectangles, que l'on ait, par exemple,
ia transformation précédente ne peut être exécutée, puisqii'alors a devient infini.
Dans ce cas, l'équation étant de la forme
on peut tâcher de faire disparaître les termes en z et en f, ainsi que la quantité qui en est indépendante.
On obtient, en efïet, par la substitution des formules
et en égalant à o le coefficient de z', celui de 7', et la quantité indépendante de .x'if', z',
- aMc-+-N^ o, aM'i-+-K'=o, Mf' -+- M'i' -f- Ne -+- N'È -h N"« H- D = o; ce qui donne
valeurs réelles et finies tant que ti" n'est pas nid; et l'équation se réduit à celle-ci :
(4) Ms= + My + K"x=.o.
