Lorsque l'on a eu même temps

51'= o, N°=o, la dernière transformation est impossible, puisque a est encore Infini;

i CTLINDIIQUES BU SECOND DEGRÉ. 47'

mais dans ce cas particulier l'équation (a) devenant

Mî= -H M'j= + Ka + N'j + D ^ o,

ne renferme plus que deux -variables, et représente évidemment (402) UNE SURFACE CYLINDRIQUE dout Ibs génératrices sont perpendiculaires au plan des /s, et qui a pour base, soit une ellipse, soit une hyperbole, suivant que, dans l'équation ci-dessus, les coefficients M, M' sont de même signe ou de signe contraire.

430. Supposons encore que deux des carrés j' et 3:' aient disparu en même temps que les trois rectangles, c'est-à-dire que, par la première . transformation des coordonnées, l'équation ait ét*^ réduite à la forme

Mz'-f- Ne + N'j -h- N"J^ -h D = o;

on pourrait, dans ce cas, chercher à opérer l'évanouissement de quelques termes; mais cela est inutile pour la détermination de la surface représentée par cette équation.

En effet, posons successivement

ce qui revient à couper la surface par une suite de plans parallèles au plan des .kj; l'équation devient, pour ces différentes hypothèses,

d'où 11 suit que les intersections de la surface par des plans horiïontaus sont des droites parallèles entre elles. Ainsi (4J7) la surface est encore de la nature des surfaces cjliiidriqiies ; et, si l'on veut connaître une directrice de cette surface, il suffit do poser j — 0, par exemple, dans son équation.

Il vient, par cette hypothèse,

ME'+Nî-t-N"..+D = o,

équation qui exprime une parabole située dans le plan des ,rî.

Donc, enfin, la surface n'est autre chose qu'une suhface cylindrique à base parabolique.

431 . En réfléchissant sur la discussion préccdento, on doit conclure que toutes les surfaces du second degré se trouvent implicitement renfermées dans les deux classes d'équations

Ms'-I-M'j=+ Hra:M.. P .= o, M:'+ M',r''+ N".-: == 0,

472 SUEF. DU 3° DEGRÉ A CENTRE OU DÉNUÉES DE CEKTliË,

à l'exception de ceiles qui correspondent aux équations Ms'h- M'x'--+- N 3 -)- N'j- -f- D = o,

et que nous avons reconnu appartenir à des surfaces cïlindbiques à base elliptique, hyperbolique ou parabolique.

432. N. B. — Il est bien entendu que nous comprenons dans ces trois variétés générales celles qui (161 et 309) correspondent aux variétés de l'ellipse, de l'hyperbole et de la parabole.

Ainsi lorsque l'ellipse se réduit à un cerde ou & lui point, la surface cylindrique devient un cylindre à base circulaire ou iine seule droite.

Si l'hyperbole dégénère en un système de deux droites qui se coupent, la surface cylindrique se réduit à un système de deux plans qui se coupent.

Enfin, quand la parabole 8e réduit à deux droites parallèles ou à une seule droite, la surface cylindrique devient un système de deux plans parallèles ou un plan unique .

433. Avant do passer à la discussion de chacune des équations

nous ferons quelques observations générales sur la nature des surfaces qu'elles représentent, et sur les systèmes d'axes ou de plans coordonnés auxquels les surfaces sont actuellement rapportées.

PREMIÈREME^T, l'équation (OiUe renfermant plus les termes du premier degré en x^ y, z, reste la même lorsqu'on y change -i-x, -+- j-, -h s en — ^1 ~y< — ^ ; ce qui prouve que toute droite menée par la nouvelle origine et terminée de part et d'autre par la surface, est divisée en deux parties égales en ce point. Donc (130) toutes les surfaces comprises dans l'équation (i] ont un centre, qui n'est autre chose que l'origine actuelle des coordonnées.

Remarquons d'ailleurs que l'équation pourrait renfermer les rectangles des variables ainsi que les carrés, sans que !a surface cessât d'avoir un centre, et d'être rapportée à ce centre comme origine, puisque la condition caractéristique du centre serait encore remplie. On pourrait même supposer la surface rapportée à des axes obliques menés par cette origine.

Ainsi, dans le cas d'axes quelconques, une équation telle que

ET PLANS UlAWI^TliAiiS, 4:3

dont plusieurs coefficients peuvent ôlre nuls, rcpi'ésoiite une surface qui a an centre, et ce centre est t' origine.

Secondement, on appelle pian diahétrjil d'une surface, un plan qui divise en deux parties égales toutes les cordes de la surface parallèles entre elles et menées sous une direction quelconque.

Or, d'après la forme de l'équation [i) qui, étant, résolue succpssivement ' par rapport à chacune des variables, donne deux valeurs égales et de signes contraires pour cette variable, il est évident que chacun des trois plans coordonnés divise en deux parties égales toutes les cordes menées parallèlement à l'intersection commune des deux autres. Donc ces trois plans sont des plans diamétraux; de plus, on peut les regarder comme formant un système de plaks biamétbaux conjugués PEnpENmcuLAiREs ENTRE EUX, Conformément à la définition donnée (178) d'un système de deux diamètres conjugués.

TitoisiÈiiEMENT, considérons l'équation (a) :

Puisque le troisième terme change de signe lorsqu'on remplace + x, ■+ X, -i- z par — X, — /, — s, il s'ensuit que l'origine actuelle des coordonnées n'est pas un centre. On a vu d'ailleurs (428) que, dès qu'un des carrés manque en même temps que les rectangles, il est impossible de faire disparaître à la fois les trois termes du premier degré ; donc les surfaces représentées par l'équation (a) sont des tur^aces dépourvues dt

Observons encore que, des trois plans coordonnes deux seulement, les plans des xy et des xz, peuvent être regard & con me des plans dia métraux, puisque le premier divise en deux parties égales toute'î les cordes parallèles à l'axe des i, et le second toute* les cordes panlleles à l'ase des /.

Concluons de ce qui vient d'être dit, que les surfaces du second degré se partagent en deux classes distinctes, savoir les surfaces qiu ont \r\