ES SURFACES DU DEUXIÈME DEGRÉ DOUÉES I
Celte équation, qu'oiL peut raeUre sous la forme
cBraotérise (423) une surface de réwlulion autour de l'axe des jt; car en faisant x = const., on obtient
j'-T- 2' = const.;
ce qui prouve que toute section faite perpcndiculairoracnt à l'axe des x est une circonffivence de cercle.
Les deux hypothèses successives / = o, i — o, donnent
Ce sont !es équations de la génératrice considérée dans deux de ses positions, savoir : dans le plan de xz et dans le plan des xy.
Si l'on avait M = M", ou M' = M", on reconnaîtrait de même que la surface serait de nimlution autour de l'axe des^, on bien autour de l'axe des z.
Supposons maintenant
M = M' = M', d'où C=B=A; l'équation se réduit à
et représente une surface sphérique dont le centre est à l'origine des coordonnées.
Les coefficients M, M', M° étant toujours positifs et quelconques, égaux ou inégaux, on peut avoir P — 0, ou P positif.
Dans le premier cas, l'équation devient
et n'admet qu'un système unique de valeurs réelles, savoir,
donc la surface se réduit à un poini.
Dans le second, l'équation
n'admet aucun système de valeurs réelles. Ainsi la surface est imaginaire.
Concluons de là, qu'à l'hypothèse générale M, M', M" positifs à la fois
correspond un seul genre de surfaces, I'ellipsoïoe, comprenant comme
nypliUBOLOÏDES A DEUX KaPPES. 4;;
variétés Ycllipsoule de révolution, la sphère, un point et une surface iina-
M, M' positifs et
^galif; IlYPEnBOLoTn
[Il sera tout à fait iautile de considérer le cas où doux des coefficients ÎI, M, M" sont négatifs, puisqu'en changeant les signes de tous les termes de l'équation, on retombe sur le cas où eleiix de ces coefficients sont positifs.]
436. Supposons d'abord M, M', P positifs et M" négutif. L'équation (i) du n° 434 devient, après qu'on a rais les signes en évidence,
[i] Mî'-i-M>^-îir.t== —p.
Or, si l'on
fait successivement
il vient pour
cc^a, \W^Wy'=W'j}-V,
--6, M3'-!ir.):= = -(iU'S=-i-P),
Us Équations (4) et (5) prouvent que toute section faite dans la surface parallèlement au plan des xz, ou au plan des j^j, est une hyperboh: dont 1 ase transe erse est dirigé suivant une parallèle à l'axe des x.
Quant a léquation (3), elle représente évidemment une ellipse réeilc, tant que l'on donne à k une valeur positive ou négative, numériquement
qui veut dire que, s
ï deux
plus grmde que i/g-„ [fig.
on imagine deux plans parallèles au plan des /z, la surface n'a aucun point compris entre ces plans; mais elle s'étend indéflniment à droite et à gauche de ces deux plans, dans le sens des x positifs et dans le sens des x négatifs; d'où l'on peut conclure que cette surface se compose de deux parties distinctes, égales et opposées.
On l'appelle pour cette raison, et à cause de la nature de ses intersections par des plans parallèles à deux des pians coordonnés, hïpeeboloïde à deux nappes.
Les trois sections principales s'obtiennent en teisant successivement dans l'équation (a),
I78 DES SURFACliS DU llliUXIfiSlE DEiillft LOUÉES c'UN CENTRE,
e qui donne
La première section est imaginaire ; mais les deux autres sont des hyperboles MAM' et mk'/u', NAN' et nk'ri, rapportées à l'axe des x comme axe transverse.
Soit posé
'-'"■'s/w-' '"'"s/ff" ■■"■■■■■Va'
il en résulte
iroù, substiluant dans l'équation (2) et réduisant,
Des trois lignes 2A, 2B, aC, appelées les tixes principaiu: do la surface, la première seulement a ses deus extrémités A, A' placées sur la surface. Qoantauxdeux autres, on convient de les représenter sur la figure par lieux distances BB', CC', comptées sur les axes des 7* et des e; mais les points B, B', C, C n'appartiennent pas à la surface, comme dans l'ellip- Foïde. En un mot, l'hyperboloïde à deux nappes a un seul axe transoene et deux autres non transverses.
437. Soient actuellement M et M' posiiifs, W et P négaiifs. L'équation (i) devient
M3=-t-M>'- Wj;'- +P; el l'on en déduit successivement pour
.X = î, M s'^- M'/'= iWa^H- P, y=t, M s= - Wa:'' -^ - M'S' + P, z^-'U iAY—Wx'= -Mv'-i-P.
La première équation représente «ne ellipse toujours réelle, quel que soit «; et les deux autres, des AK/ie/-io/eï rapportées à l'axe des a;, comme axe transferse ou non transverse, suivant que l'on a
On voit donc que, dans le cas actuel, il n'esisie aucune discontinuité
HÏPERBOLOÏIIES A UNE NAPPE. 4^9
dans la surface qui, pour cetto raison, porte le nom d'iivPERnoLoifE h une nappe.
Les hypothèses successives
x.-o, j- = o, =--o(/g-,M3), donnent
Ma'+M'7==P, Ms^-M'^c'^^P, M'/'- irj.-= = P.
VcUipse représentée par la première équation est la plus petite de toutes celles qu'ott obtient en coupant la surface par des plans parallèles au plan desja.
Les deux autres équations expriment des hyperboles situées, l'une dans le plan des xz, l'autre dans le plan des xy, et ayant pour axe non trans-
Cela suff t pour donner une idée assez exacte de la surface dont deux axes prmcqauv s nt trnnsoerses, et le troisième est n En ( 0 ant
d'où, substituant dans l'équation de la surface, on déduit A=B'a'+ A'C"7-- B'C'^'=. -h- A'B'C.
43S. Cas particuliers des deux hyperboloïdes :
1° Soit M = M', d'od C — B, les équations des doux surfaces so réduisent à
A'a'-i- A'j'- BV ---.-. - A=B',
A=ï'-i-Vj'— lî'^'--= — A'B'; ce qui donne
Donc les deux hyperboloïdes deviennent des lurfaces rie r/hmluiion autour de l'axe des x [voyez le n" 423). 2° Soient M, M' posilifs, M" négatif, et P èg^l h o.
.XIÈIU' DHGLIÉ nESUÉES BE CENIRI
f-fâ^
c'est (419) i'éqiialion d'une surface conique dont !e cciKre se tiuuv« placé à l'origine.
439. Remarque. — Cette surface, comparée aux deiis hyperboMiles, jouit d'une propriété curieuse, qui consiste en ce que ses génératrices se confondent avec les asymptotes des hyperboles résultant de l'intersectio/i des trois surfaces par lui plan mené à volonté suivant l'axe des z, ce qui lui a fait donner la dénomination de cône asymptotlque aux deux hyperboloïdes.
Il suffirait, pour démontrer cette propriété, de substituer dans ies équations
les valeurs de x, y, z en x', y', tirées des formules du n° il! , qui, dan le cas actuel, à cause de 6 = go", d'où
Nous nous dispenserons d'exécuter ce calcul, qui n'offre aucune difii-
Siirfaccs dénuées de cfiit/c.
440, Discutons maintenant l'équation (a) du n" 433,
Ms'-f-M'jr' -t- N'a: = o; Paraboloïdes.
H peut également se présenler deux cas principaux : IVf et SI' peuvent être de mène signe ou de signe contraire.
i" M, M' pùsHifs à la fois.
Dans cette première hypothèse, N" peut être indifféremment nègaOj ou positif.
Supposona-lc d'abord négatif, et mettons le signe en évidence; l'équation prend la forme
En faisant successivement
JJDES ELLIPTIQUE ET HYPERBOLIQUE. l\Sl
on obtient
Mz'+M'7' = N"a, Uz' = ti'j:-M'§\ M'y' = V!'j: -Uf.
La première équation est évidemment celle d'une ellipse toujours réelle tant que a est positif, et de plus en plus grande à mesure que « augmente.
Si l'on suppose a= o, l'ellipse se réduit à un point, et elle devient imaginaire, dès qu'on suppose k négatif.
On voit donc que la surface s'Étend indéjiniineni dans ie sens des x positifs, et n'a aucun point à la gauche du plan des js, auquel elle est tangente, à l'origine même des coordonnées.
Les deux autres équations représentent des paraboles dont l'axe principal est dirigé parallèlement à l'axo des j", et dans le sens des x positifs.
Les paraboles correspondant à l'hypothèse j = S ont toutes le même
N" paramètre -jtj-; et celles qui repondent à s == 7 ont pour paramètre con-
stantg,- En posant j = o (/îg-. 204), puis ; = o, on trouve
pour les deux sections principales, suivant les pians des xz et des ^y.
D'après ces données, il est facile de se former une idée nette du nouveau genre de surfaces auquel on a donné le nom de paraboloïde ellip-
Sûit actuellement H" positif , auquel cas l'équation revient ;i Ms"-i-M'r" = -N°x; comme, en changeant x e-a ^ ^, on la ramène à la forme
il s'ensuit que !a surface est la même que dans le cas où N" est négaUE : seulement elle s'étend dans le sens des ^ négatifs, comme elle s'étendait d'abord dans celui des ■>: positifs.
4il. Lt paraboloïde elliptique devient une surface de révolution autour de l'axe des x, dans le cas particulier de M = M'; car alors on a pour son cquation
ce qui démontre que toute section faite parpendiculairement à l'axô des ar
