VS
yGoosle
DIVISION DES SURFACES DU DEUXIÈiBE IIEGBÉ EN C.IHQ GKSilES. 4^3
d'où il suit que les plans menés par ces droites et par l'axe des ic déterminent au-dessus et au-dessoua du pian des ^j deux angles dièdres, qui comprennent îa surface tout entière; et l'on peut considérer ces deux plans comme des plans asymptotes par rapport à !a surface.
Comme les coefficients de a' et de j' sont de signes contraires, l'hypotbè9eM= M' ne peut donner tiêu à une surface de révolution. D'ailleurs, nous verrons bientôt que, quelle que soil la position du plan par lequel on coupe cette surface, il est impossible d'obtenir pour section une courbe limitée, et par conséquent une circonférence de cercle.
HZ. GÉNÉRATION DES DBOX PABABOLOïoES. — Le paraboloïde hyperbolique étant une surface assez difficile à se représenter, nous allons faire connaître un moyen de génération, commun aux deux paraboloïdes, qui sera très-propre à donner une idée exacte de l'un et de l'autre. Ce moyen, qui ofl're beaucoup d'analogie avec celui que nous avons employé {382] pour le plan, consiste à faire glisser une parabole ayant pour équations
parnllèlement à elle-même, suivant une autre parabole
de manière que le sommet de la première, appelée génératrice, se trouve constamment placé sur la seconde, qu'on peut appeler !a direetriae.
D'après ce mode de génération, il est évident que les équations de la génératrice, considérée dans l'une quelconque de ses positions, seront de la forme
1^ paramétre de cette parabole mobile, ou — — i reste constant; mais comme le sommet qui, d'abord, est situé à l'origine, occupe ensuite une position quelconque sur la directrice, il s'ensuit que la seconde équation doit renfermer un terme k indépendant de x et de y.
Cela posé, remarquons que, pour tout point de la surface placé sur la même génératrice, la distance au plan des xz et la position du sommet de cette génératrice restent les mêmes; mais lorsque le point passe d'une génératrice à nne autre, les deux éléments dont nous venons de parler changent néceœairement ; donc les quantités Ë et a, qui correspondent à ces éléments, sont des quantités constantes ensemble et variables ensemble; ainsi elles doivent dépendre d'une certaine manière l'une de l'autre. Or, on obtiendra cette relation en exprimant, par l'analyse, que la génératrice et la directrice se rencontrent ; ce qui revient à dire que
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^.È^■ÉRATION DES DEUX P.VUAltOLOÏDES.
les équallo'
ns
r=§, Mî^+N"^' + .-o,
ont lieu en D'abord, donne
même temps, la valevir z = o, portée dans la seconde des équations ( i
Substituant ensuite les valeurs / = 3 , j- :■-= — jt^, dans la seconde dos
Oquations (a), on trouve
Telle est la relation qui lie entre elles les quantités a, 8, et qui doit exister en même temps que les équations (i) pour toutes les positions de 1 1 génératrice, c'est-à-dire pour tous les points de la surface.
L ne s'agit plus que d'éliminer h, g entre ces trois équations, et pour cela il suffit de remplacer a, S par leurs valeurs tirées des équations (i); co-qui donné
MV — (~Mz'-N''a)= o ou Uz^^-'i.Vr+Wx= o;
c'est l'équation commune aux deux paraboloïdes.
Lorsqu'on a M, M' posil/fs et N" négatif [Jig. 204 ) , les paramètres de N" N" la parabole générairice et de la parabole directrice sont tt 1 jrp ' quantitos
lie même signs; donc les axes sont dirigés dans le même sens.
Mais si l'on a M ponilif, M' négatif et N° négatif {fig. ao5), les para-
mètres sont ^1 -,-, - ou de signes contraires ^ donc les ases Ue ces paraboles sont dirigés on sens contraire l'un par rapport à l'autre,
ai. Conclusion générale. — 1! résulte de la discussion précédente que les surfaces du second degré se divisent en cinq genres : I'eli.ipsoïde, ayant pour variétés, Vellipsnïde de rêwlation, la sphère, un point ou une surface imngi/iaire;
L'byperboloïdk à deus nappes et VHïPEBROLoïnE à une nappe, ayant tous deux pour variétés, Vhjperboloïde fie révolulinn et la surface coniiiae de révolution ;
Le PABABOLoÏDB HïPEBBOLiQCE, qul n'oiTfe aucune variété, à moins qu'on ne suppose N" = o, auquel cas l'équation se réduit à
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rejirésetilant un système de deux plans qui se coupent.
Toutefois, les surfaces c}iindriques à base elliptique, hyperbolique ou parabolique (4^9 et 430) sont les surfaces qui se rattachent aux paraboloïdes, puisqu'on les a obtenues en supposant que Vun des carrés, oti deux des carrés, aient disparu en même temps que les rectangles, dans l'ëquation générale.
Sections planes des surfaces du seconddcgré.
44o. Cherchons actuellement de quelle nature peuvent être les intersections des surfaces du secoi.d degré par un plan quelconque. II suffit, pour cela, de substituer dans chacune des deux équations
à la place de r, j, z, leurs valeurs tirées des formules du n" il 1 , savoir
ce qui donne une équation du deuxième degré en j:', j-'.
qu'il s'agit ensuite de discuter pour chaque genre de surface.
4i6. Sections cihculaibes. — Hous nous bornerons à faire usage de ces formules pour démontrer une propriété très-remarquable, consistant on ce que taaie surface du second degré (le PABABOLOÏDE hïpeuboliqijr excepté) donne lieu à deux systèmes de SECTIONS cibculaires ; propriété dont celles qui ont été établies aux n" 358 et 363 pour le cône et le cylindre obliques, à base circulaire, ne sont que des cas particuliers.
On sait déjà [88} que l'équation (3) ne peut représenter un cercle, les axes étant rec/n«g'H^i/-«, qu'autant que l'on a entre les trois coefficients A, B, C les deux relations
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4bb DES SECTIONS CmCULAlBES
qui, exprimées en fonction des quantités M, W, M", m et 9, deviennent
(4) (iff-M'jacosasmïCOS^i-o,
(5) Msin'S + Ji'cos'fl cos'f -i-M"cos'9sin'ï = M'sin'ip -i- Jfcos'f .
[Il est inutile de tenir compte des coefficients D, E, F. ]
Analysons ces équations de condition, on considérant d'abord les surfaces douées d'un centre; ce qui suppose qu'aucun des coefficients M, M', M" n'est nul.
Comme, en général, M° est dijférent de M', il en résulte que la relation (4), pour être satisfaite, exige que Tenait ou cosô = o, ou sinf = o, ou bien cos^ = o. Tels sont les cas que nous allons examiner sucœssive-
i" cosQ = o, d'ofi sinfl ~ i ;
l'équation (5) devient
m plaçant si
tans'?
on trou^'e pour
l'équati
.on ('))
te qui donne
Msin' tangE
^fl+M'cos'9
3" Enfin,
:oSï =
0, d'où si
l'équation (5) si
i réduii
Msin
'o + ivrcos'o
Discutons ces valeurs de tangf et de tang9, qui peuvent être réelles ou imaginaires) suivant les hypothèses faites sur les coefficients M, M', M". Or, si l'on multiplie entre elles les quantités sous le radical,
DAKS L1!S SURFACES DU SECOND BEGRft. 467
il vient pour produit
résultat essentiellement positif; ce qui démontre d'aLord que Vitne de ces Irois quantités, au moins, est /)o«Wue; mais je dis que si la première, par exemple, est positiae, ]es deux autres sont négatives.
En effet, pour que ^^r^ij, soit positif, il faut que M"— M el M — M' soient de même signe, c'est-à-dire que l'on ait en m6rae ieraps
M"- M > ou < (1,
M — M'> ou <o; d'oti, ajoutant ces deux inégalités membre à membre,
M"-M'> ou <o.
On voit donc que M" — M' eb M — M" sont de signes coniraires ; ainsi M"- M' . , ...
5ï^rsï^est«4-««y.
Pareillement, M'— M" et M - M' sont do sig
yZTM^est^eg.»/.
On démontrerait de la même manière que, si la seconde oi était positive, les deux aiitres seraient négatives. Concluons de là que, sur les trois systèmes
9 = o, lang7 =
/il" - M
il y en a toujours un d'essentiellement icd, mais que les deux autres sont imaginaires.
D'ailleurs, comme, à cause du radical, chacune des trois hypothèses donne deux valeurs pour la tangente de l'angle réel, il s'ensuit qu'o« peut toujours, par chaque point d'une surface du second degré, douée d'un CENTRE, faire passer deux plans sécants qui donnent lieu h une circonférence de cercle.
Si l'on se rappelle î'acception donnée aux quantités ? et 0 (iH), on reconnaît sans peine que ces trois hypothèses correspondent à des plans
488 CES SECTIONS ClKCUl.AIRKS
respectivement perpendiculaires aux plana dos trois sections principales.
Ainsi cos9 = o indique que le plan sécant est perpendiculaire au plan des 3:^;cosf = o, qu'il est perpendiculaire au plan desa;z; et sino) = o, qu'il est perpendiculaire au plan desjs.
Dans le cas particulier d'une surface de révolution, c'est-à-dire lorsque l'on a M — M', par exemple (435, 438), les trois systèmes se réduiseot à
0080 = 0, tang^ = o3 ou 0031* = o,
sina. = o, tang9 = ± v''— i,
cos^ = o, tangfl = 00 ou cosO — o.
Le second est évidemment imaginaire. Quant aus doux autres, ils sont identiques, et signifient qu'il n'y a qu'un plan perpendiculaire à l'a^e des X qui puisse produire une eirconffii'ence do cercle.
447. Les conséquences précédentes souffrent quelques modifications pour les deux paraboloïdes.
En effet on a, pour ces deux surfaces, M"= o, par suite, les relations B = o, A ^ C deviennent
cos^sin^ coso ~ o, Msin'e —- M'(sin'f ~ cos'Scos'ï);
or l'hypotliÈse sinij' = o est inadmissible; car, à cause de C = M'sin'o, il s'ensuivrait aussi C = o, ce qui ne peut être pour que la courbe d'intersection soit une circonférence do corcle. On est donc conduit à faire deux liypotlièses seulement, savoir ;
cosO= o;
sin6 = i, M=M'sin»o,
Dans le cas du paraboloïde fijjierbolique, ces deux systèmes sont iinnginaires, puisque M el M' sont alors de signes contraires (442).
Pour le paraboloïde elliptique, Se premier système seul est admissible
BAKS LES SUBFACES DU SECOND BIÎRli'::, 481)
lo contraire a lieu lorsaue l'on a
Soit
ce qui est (i-i1) le cas du pnriibolo'ùk- rli: réfolatinn (elliptique), il en r(5sulte
par suite,
(Mè«i = o ;
cosï- = 0 et sin'j = i±i, par suite,
d'où l'on voit que ces deus systèmes rentrent l'un dans l'aulre, et celi signifie que !e plan sécant est perpendiculaire à Vaxc des x.
^48. Rehaeques. — f" Les conditions B = o, A = C, ne déterminanî. que les angles 6, <p, et non les coordonnées n, &, e, il s'ensuit que, pour toute surface du second degré, outre que le paraholoùle hyperbolique, il doit exBter deux systèmes de plans parallèles entre eux et en nombre injîni. qui donnent des sections circulaires.
Toutefois, si la surface est de ï'e'i'o/udort, les deux systèmes se réduisent
■H" On peut alors demander le lieu des centres de toutes les sections pour chaque système.
Pour résoudre cette question, remarquons que rien n'empÉclie, pour cliaque section obtenue, de disposer des indéterminées «, b, c, de manière que l'origine des coordonnées soit placée au centre de la section : ce qui exige (316} que, dans la transformée (3) du n" 4i3, les coefficients T), E soient nuls.
La question se réduit donc à former ces coefficients et à les égaler à zéro. On trouve ainsi, pour les surfaces correspondant 'a
Mz^+Wy'+Wx'-i-y = o,
îMesinC' — 2M'6cosflcos<p -i-aM''iîcos9sino- -.- o,
aM'èsinfl-i- 2M''flC0S^ = o,
et pour les surfaces correspondant àMa'-i- M'j'^-)-N"j: = o,
aMcsiuB — aUricosOcostp ■+■ N'cosSsin^ = o,
2M'Ésin9 ■+- K"cos^ = o.
Dans les deux cas, on a, pour déterminer <ï, h, r, deux équations l'-
4^0 PLANS lANdENTS
néaires qui représentent deux surfaces plumes dont l'intersection est uc ligne droite..
D'où l'on voit que pour chaque système de plans sécants, le tien géi métrique des centres lie toutes les sections est tîNE BBOiTE.
Ses plans tangents a
urfaces dit second degr
ii9. De même que nous avons défini (99) la tangente en un point quelconque d'une courbe, Vêlement de cette courbe, prolongé indéfiniment, nous considérerons aussi le plan tangent en un point déterminé d'une surface comme l'élément de cette surface prolongé indéfiniment.
11 résulte de cette définition que, l'élément de la surface en un point quelconque se composant de tons les éléments des courbes que donne l'intersection de la surface par une suite de plans qui passent par ce point, et ces éléments n'étant autre chose que les tangentes aux courbes en ce point, il en résulte, dis-je, que le plan tangent est encore le lieu de toutes les tangentes aux différentes courbes qu'on peut imaginer sur la surface par le point donné, et que sa position est déterminée, dès que l'on connaît celle de deux des tangentes.
C'est cette dernière conridération qui va nous servir à trouver l'équation du plan tangent.
Soit d'abord
Ms'-t-H'j'-
l'équation générale des surfaces qui ont un centre, et appelons x\ y\ s', les coordonnées du point par lequel on veut mener un plan tangent à la surface; on a déjà la relation
Maintenant, si par ce point on imagine successivement deux plans parallèles au plan des xî et au plan des js, on aura pour les équations des intersections de la surface par ces deus plans,
', Mî'4-M"4^=
+ uy-
■.'+iAy-
-t-MV
et pour les équations (wre3]enM87),
des tangentes
à ces sections, au
rr^.r:
, Ms
■'-hP-o,
ï'h-M'^ij
Or le pla
n tangent i
loit, e
n vertu de ce qui
a été dit ci
