AUX SURFACES CK SECOHD DEGRÉ
par cos deux tangentes : ainsi la question est ramenée à trouver Téquation d'un plan passant par deux droites dont les équations sont données.
L'abord, comme le plan doit passer par le point x', j', z', son équation est de la [orme
Il suffit maintenant d'exprimer que ce plan, qui renferme déjà un point commun aux deux droites, est parallèle à chacune d'elles. On a pour cela (388) les deux conditions
Ao'-i- Bù'^ C = o
mais
les équatio'
ns(3jet(
[i] peuvent se mettre so
us la forme
Ma'
Uz-
IM
œqi
ji donne
Ma'
Mz'
par suite les deux relations de condition deviennent
Bx-Ï!:,^C = o, d'où B-Ï^C.
SubsUluant ces valeurs dans l'équation (5), on obtient
(6) Uzlz~z') + Myir-r'] + W.>:-{.:c~.^') = o,
ou, développant et ayant égard à la relation (a),
équation qui ne diffère de l'équation de la surface, qu'en ce que les carrés ^',y', ^' sont remplacés parles rectangles zz',jy', xx' .
4S0. Passons aux surfaces dépourvues de centre. L'équation générale des paraboloïdes étant
(i) Mî=-H-M'j--^2N"jT-.o
(on verra bientôt pourquoi l'on pose ici le cocflicient de a: t^gal à aN"]
49^ Pl,*f(S TANGEKTS
on a pour le point de !a surface dont les coordonnÈes sont s:', r', z\
Les équations des intersections de la surface par doux plans parallèles aux plans des xz et j-s, passant par le point (x', y\ s'), sont
r=r', Ms'-HaK".^-(-M'.r" = o,
et celles des tangentes à ces courbes, roen^es par le mÉme point, sont (2Gietl87)
r ^ r', lUz--^ N'-f.r -t- x') + HV" = o,
Maintenant, le plan tangent devant passerpar le point ic',j', s', son équation est de la forme
les relations qui expriment que ce plan est parallèle aux deux droites, étant toujours
An-î-B^-+-C-:o, Art'+Bi'-f-C^o,
on a évidemment ici
SU' , , ,, Mj'
ce qui donne poat' les deux relations de condition,
Bx-^,+ C..-o, d'où E = M>,'c.
li vient ainsi, par la substitution de ces valeurs dans l'équation (3),
(4) },U'(z~z-] + My{f-r') + J^''(.v~^-']-=o;
ce qui donne une première forme de Téquation du plan tangent. Mais en la simplifiant par le moyen de la relation (2), on obtient fmaie-
N. B. — Los équations de la normale, c'est-à-dire de la droite élevée par le point de contact perpp.ndiculniremi'.nt au plan tangent, sont faciles
