AUX SURFACES DU SUCOND DEGRÉ

à déterminer d'après les principes établis au n" 383 ; il est donc inutile ds s'y arrêter.

451. Soit maintenant proposé de mener un plan Uin^eitt par un point extérieur, en sa bornant à développer la méthode pour les surfaces qui ont un centre.

Désignons par a;", j', s" les coordonnées du point donné, et conservons x', y', z' pour représenter celles du point de contact inconnu..

Le pian langent devant passer par le point x", j", s", ces coordonnées doivent vériQer l'équation (7 ) du n" i\^ ; et l'on a la première relation

(i) MeV+ Wr'r"+ Wx'j:~+ P = o.

D'un autre cûté, le point x', y', a' se trouvant sur !n surface, on a pour seconde relation

Comme ces équations sont les seules qui puissent servir à déterminer y', z', on est conduit à cette conséquence, que

peut menei

hors d'une surface dit second degré douée d' ■ une infinité de plans tangents.

rviendrait a

u même résultat pour les surfaces dépoumiirs

Si l'on éliminait alternativement j' et .r' entre les équations (1) et (a), on obtiendrait deux équations en 3;', s' et en j', z', qui ne seraient autres que celles des projections sur les deux plans des xz et des j^, de la ligne passant par les points de contact de tous les plans tangents; ligne qui, pour cette raison, est appelée la courbe de contact.

Cette courbe est nécessairement plane et du second degré, au plus; car elle provient de l'élimination des inconnues entre l'équation (1) qui est celle d'un plan, et l'équation [a}, c'est-à-dire celle de la surface du second degré proposée.

Elle peut être regardée comme la base d'une sur&ce conique ayant pour centre le point donné, et enveloppant la surface proposée.

Enfin, il est facile de reconnaître qu'elle a les mêmes plans tangents que la surface, et que ses génératrices sont les intersections de tous ces plans considéré» deux à deux

Ces propositions découlent eiidemmtnt do la nature de la question qu'on setait propuao do iLsoudie

494 CËSÉUATIOX !>H t'uïL'EaUOLDÏUK A UNE SAPl'K

Génération de l'hypcrhohule à une nappe et du pnraboloïde hyperbolique.

4S2. Nous terminerons la théorie des surfaces du second degré par la démonstration d'une propriété comnmne à l'hyperboloïde à une nappe et an paraboloïde /ifperbotîfjue, c'est de pouvoir être engendrés par le mouvement d'une ligne droite de deux manières différentes.

Déjà nous avons vu (42i et 423] que l'équation de la su/face de révolution engendrée par le mouvement d'une droite située d'une manière quelconque dans l'espace, autour d'un axe fise, est identique avec celle de l'hyperboloïde de réi^olution à une seule nappe; et (421) que la surface eonoïde dont les deux directrices sont des droites, est une surface du second degré, surface qui, d'après la nature de ses intersections par des plans, ne saurait être autre qu'un paraboloïde hyperbolique.

Nous allons maintenant généraliser ces propositions au moyen de ki considération des plans tangents.

is d'abord l'équation générale des surfaces douées d'un eenin-,

Mz'^-Wy'-^W^-'-

Ccilo du plai

n langent en un point j:', j', a

aU'. + M'j'j-i-M''^'.

et l'on a, en

L outre, la relation

Cela posé, si l'on double l'équation ( a ) et iju'oii la retranche de la somiiudes. deux autres, il vient

cqudtiofl qui peut Être substituée à l'équation (i), en ce sens que les points ej/nmun-t au plan langent ( î j et à la surface (i ) sont aussi communs au plan tangenl et a la surface représentée par l'équation (4)i et réciproquement

La question est amsi ramenée à chercher quels peuvent être les pointa qui appartiennent a la fois aux deux surfaces exprimées par les équations(a) et {4)

Remarquons d'abord que si M, M', M" sont tous trois positifs, l'équation (4) ne pout être vérifiée que par

ET BU PARABOLOÏriE HYPERBOUQUK. ^ip

ce qui prouve que, pour un e!!-:p.mïdi?, le plan tangent ne peut jamais avoir qu'«« poinc commun avec la surface.

Si l'on suppose M, M' positifs et M" négatif, et qu'on molt« les signes en évidence, les équations (2), (3) et (4) deviennent

(5.) Ms'^ -+- M'j'.r ~ Hf .c',r -t- P ^ o.

(6) Ms'--hM',.'=--MV+P-- n,

Cette dernière équation représente (419] une surface conique dont le centre est le point x', y' , i'.

Comme, d'ailleurs, ce mÉme point appartient au plan tangent, il s'ensuit que, si les deux surfaces ont d'autres points communs, ils sont nécessairement en ligne dmite et constituent une ou deux des génératrices de la surface conique.

Pour reconnaître si les surfaces exprimées par les équations (5) et (7) ont eu effet d'autres points communs que le centre {x',y, z') de la surface œnique, on est conduit à combiner les équations

d'une droite passant par ce même point, avec celles des deux surfaces, pt & s'assurer si les constantes rr, b peuvent être déterminées de manière que ieâ quatre équations s'accordent entre elles.

Or, en substituant les valeurs de x — ,r', y —y', que donnent immédiatement les équations (8), dans chacune des équations (7) et (5), on trouve

{z- zy{M-z' -^Wbf ~Wax')'-= o,

ou, si l'on supprime le facteur {z — z'f correspondant au point x',r', z' qu'on sait déjà être commun aux deux surfaces,

^^' \ Ms'-HMyi-M",j:'«=.).

Telles sont les relations qui expriment que la droite se trouve tout entière sur les deux surfaces.

Si l'on élimine a, 6, et qu'on ait égard à la relation (6), il vient, toute réduction faite,

496 iiÉNÉRATIOK DE i'HYPERBOLOÏDE A UKE HAPrE

ce qui fait voir que b étant susceptible d'une détermination réelle, il en sera de même de a.

11 reste à savoir dans quel cas la quantité b aura une valeur réelle.

Or cela ne peut avoir lieu (M, M', M" étant, dans l'expression de cette valeur, essentiellement positifs), qu'autant que P est négatif, condition qui [iZl] correspond à I'iiyperboloide à une nappe.

Donc, pour ce .genre de surfaces, le plan tangent en un point quelconque jouit de la propriété à'm'oir devix droites communes avec la surface conique (7), et, par suite, avec la surface

Mz-t- JO-=-M".'-' = + P.

En d'autres termes, il n'existe pas un /mini de rltypcrbaloïde à une nappe par lequel on lie puisse imaginer deux droites qui s'y troueent placées tout entières;

Ou bien encore, \' hyperholoïde à une nappe peut être considéré comme engendré par une ligne droite de deux manières différentes.

N. B. — La propriété du plan tangent à cette surface n'infirme pas la définition que nous avons donnée au n" ii9 du plan tangent; au contraire, elle en est une conséquence naturelle, car, puisqu'il doit se composer de toutes les tangentes en un point quelconque, si l'un des éléments de la surface est une ligne droite, le plan tangent doit passer par cette droite qui est sa propre tangente.

&Z. Passons avx paraioloides dont l'équation est ([) H£'-i-M'j'-f-aN".i; = 0.

On a obtenu, pour l'équation de leur plan tangent, {■!) M22'-i-M'rr'H-N°(^- + ^')^o,

,r', y\ s' étant liés par la relation (3) Mî"+M'j-"-!-aKV-' = o.

En ajoutant les équations Çi) et (3), puis retranchant âa leur somme le ilouble de la seconde, on trouve

résultat qui peut remplacer l'équation (1) en tant que l'on cherciic les points communs h. la surface proposée et au plan tangeni.

Or, comme dans l'hypothèse où M et M' sont tous les deux positifs, l'équation (4) ue peut être satisfaite que par

ET BU PARABOIOÏDK hïpeubolique. 497

11 s'ensuit que le paixiboloïdc ettiptique ne saurait avoir qu'un point commun [x',y', z') avec son plan langent.

Mais supposons M' négatif, et mettons le signe en évidence ; l'équation ( !\ ) devient

d'où l'on déduit

Ainsi l'équation (5) représente an syntème de deux plans perpondiculiircx au plan des js, et ses intersections avec le plan tangent sont, en général, deux lignes droites.

Nous sommes donc en droit de conclure immédiatement que le paraboloïde hyperbolique et .ii/i plan tangent en un point quckonijuc oui deux droites eomniunes passant par ce point.

Mais, pour fixer la position de ces droites comme on l'a fait pour Vhyperboloïde, il faut combiner l'équation (5j et celle du plan tangent, miso préalablement (iSO), M' étant ici négatif, sous Sa forme

(6) MS{z-z')-Wy{y~j--) + -N"[.-:-.^-]^'y,

avec celles d'une droite passant par le point (j:', j-', z'],

On obtient pour résultat les doux équations

La quantité b étant essentiellement réelle dans le cas du paraboloïde liyperbolique, il en est de même de la quantité o.

Donc il II')- a pas de point sur'la surface d'un paraboloïde /lyperholir/iie par lequel on ne puisse imaginer deux droites qui s'y trouvent placées tout entières.

La substitution de lu valeur de b dans la seconde dos équations (;) donne

résultat identique avec celui qu'avait donné l'équation (5). 4H4. REJiAnQTJE. — La valeur de b étant indépendante de x', y', z',

Jp. de l'Ai, à la G. 32

4g8 HÏPEHBOLOÏJIE A UNE NAPPE ET PABABOLOÏDE HYPERBOLIQUE.

en résulte que, dans les deux systèmes de génération du paraboloïde hyperbolique par une droite, les projections de toutes les droites d'un même système sur le plan dpt icy sont parallèles entre elles; ce qui prouve qu'elles sont situées dans dei plans parallèles entre eux.

Cette propriété «ert a di^tin^uei dans certains cas, le paraboloïde fyperioliijue de l'hyperboloide a une nz/ppe, bien qu'ils aient un mode commun de géneiation D'aïs le premier, toutes les droites génératrices d'un môme système sont paballbles a un méke plan, tandis que pour l'autre les génératrices ont une direction quelconque dans l'espace.

Il résulte enfin de là que la surface conoïde, telle que nous l'itvons définie au n° 421, n'est autre, ainsi que nous l'avons déjà dit, que le paraixilo'ide iiypsrbolique considéré dans lo cas le plus général.

NOTES DE M. DARBOM.

INOTE I.

I LK TIlÉOlltSlE DES PROJECTIONS ET îlïS CUOnDOSKÉES.

iNSFORJIATFOPi

Considérons une droite fixe XY ot wn plan fixe MN non parallèle à ia droite [,fig. \j. Si, par les extrémités d'un segment de droite AB, on mène des plans parallèles au plan MN, ces plans couperont la droite en deux points «, È. On dit que les deux points n, h sont les projections des deux points A, B, faites parallèlement au plan fixe MN, sur l'axe de projection XY. Le segment ab est dit la projection du segment AB. Les droites Aa, Eé sont évidemment parallèles au plan fixe MN,

Le cas particulier le plus remarquable et le plus fréquemment considéré est celui ofi le plan MN est perpendiculaire à i'ase XY. Alors les droites Aa, B6 sont les perpendiculaires abaissées des points A et B respectivement sur l'axe XY; a est dit la projection orthogonale du point a, ab est la pmjection orthogonale du segment AB.

Ainsi, pour avoir la projection orthogonale du segment AB, on abaisse, des points A et B, des perpendiculaires sur l'axe de projection ; le segment ab compris entre les pieds de ces perpendiculaires est la projection orthogonale de AB. Pour les applications, on a jugé utile de donner un signe aux projections, et voici comment on détermine ce signe.

Soo NOii; 1.

Imaginons que sur le segment AB {Jig. a ) un mobile se déplace et aille Pj„ 2, ^^ ^ ®" ^' ^' considérons à chaque instant

la projection de ce mobile sur l'axe XY. Aii commencement du mouvement, la projection du mobile est en « ; à la un, le mobile projeté est venu en b. Si, pendant le mou- . vement, le mobile s'est déplacé dans un sens déterminé, celui de X vers Y par exemple, on considérerala projection comme positive ; si le mobile s'est déplacé en sens contraire, la projection sera négative. Cola posé, il peut arriver les trois cas suivants :

1° Soit PQ le plan projetant A en a ; supposons que le segment considéré soit AB, à la droite du plan PQ. I! est clair que, dans ce cas, lorsqu'un mobile ira de A en B, la projection de ce mobile se déplacera de u en b, dans le sens XY. On aura donc, d'après notre convention, proj. AB = -I- ab.

a" Considérons, au contraire, le segment AB' placé à la gauclie du plan PQ. Lorsque le mobile de l'espace se déplacera de A en B', la projection de ce mobile ira de ft en b\ et se déplacera dans un sens contraire au précédent, celui de Y vers X, On aura donc, d'après la convention, proj. AB'— — nb'.

3" Enfin, soit le segment AB' dirigé à partir du point A dans le plan PQ, c'est-à-dire, en définitive, parallèle à la direction commune des plans projetants. Quand un mobile ira de A en B°, sa projection se fera invariablement au point a; dans ce cas, la projection du segment sera nulle,

proj.AB"— o.

On voil donc quo ia projection d'un segment de droite peut être, suivant les cas, po iti* e nulle ou négative. Pour déterminer le signe d'une projection, il faut i° md quer «ne fois pour toutes sur l'axe de projection le sens des projections pos tives. Ainsi, revenons à !a projection du segment AB ; cette projection est -h ab, parce qu'elle est dirigée dans le sens de X vers \ ma s si nous avions fait la convention de prendre comme positives toutes les projet^tions dirigées au contraire de Y vers X, ta projection de AB eût été négative ; a° i! faut aussi indiquer le sens dans lequel on suppose le segment de droite de l'espace, te! que AB parcouru par le mobile. Il est clair que, si au lieu de parcourir ce segment de A eu B, on le parcourait de B en A, le mobile projeté se déplacerait en

NOTE r. 5oi

sons contraire sur la droite XY, ot la projection devrait être changée de signe. On indique le sens dans lequel est parcouru un segment par l'ordre des lettres. Ainsi la notation proj.AB indique que le segment a été parcouru par un mobile allant de A à B; la notation proj.BA indiquerait, au contraire, que le mobile est parti do B pour aller on A. On a évidemment

proj. AB = — proj.BA,

car le segment ab est parcouru dans les deux cas, dans deux directions opposées, par le mobile projection.

Théorème des feoiections. — Si l'on projette une ligne brisée quel- FLg.3. conque ABCDE {Jîg. 3) sur un axe XY, la

somme des projections des différents côtés de la ligne brisée AB, BC, CD, DE est égale à la projection de la ligne droite AE qui réunit les deux extrémités de la ligne

Lehjie. — Considérons un segment AB (/^, 4), et soit X la distance du point a, projecSon de A, à un point 0 suifisamment éloigné sur la gauche.

,. , Lri distance du point b, projection

de h, à Vorigine 0 sera dans tous les cas, et grâce aux conventions adoptées,

t- proj. AB ;

r on suppose seulement que le point 0 soit à gauche des deux points a, b.

Démonstration. — Considérons d'abord un segment AB, dont la projection est positive. Alors, quand un mobile ira de A en B, sa projection étant positive, le mobile projection se déplacera dans le sens de X vers Y, et s'Éloignera de 0. La distance du point b sera donc, dans ce cas,

Soit, au contraire, le segment AB', dont la projection ab' est négative. Dans ce cas, le mobile projection, qui se déplace dans le sens de Y' vers X, se rapproche de 0, et la distance du point b' à l'origine 0 est

mais ici la projection de AB' est négative. On a proj.AB'— — 'ib';

donc la distance de b' ii la nouvelle origine est encore

.T H- proj.AB'.

EnQn, si le segment AB" était parallèle au plan projetant, la projection serait nulle, et la distance à l'origine 0 demeurerait invariable; elle serait

'/: ^- proj.AB",

puisque proj.AB" serait nul.

Le lemme précédent étant étaLli la démonstration du tliéoréme di'i projections se fait sans difficulté

Soient, en effet, a, b, c, d, e les projections des différents sommets de la ligne brisée. Soit O une origine pnse j la gauche de tous ces points, et soit X la distance du point a h. cette oiismo. D'après le lemme précédent, la distance du point b sera

s; -+- proj.AB,

De même, la distance du point C s'obtiendra, par une nouvelle application du lemme, en ajoutant à la distance du point b la projection de BC, ce qui donne