X -r- proj.AB -I- proj.BC -i- proj, CD
et enfin pour le point t
(i) .r -t^ proj. AB + proj. BC n- proj. CD ■+- proj. DE.
Supposons maintenant, qu'au lieu du polygone, on considère la droite AE. On aurait pour la distance du point e l'expression nouvelle
Égalant les expressions (i) et [■}.), et supprimant x dans les doux membres, on trouve
proj. AE =r= pvoj.AB + proj.BC r- proj. CD + proj, DE, c. q. p. d.
Remarque. — Si un mobile se déplace sur les côtés du polygone de A vers E, le déplacement de ce mobile indique le sens dans lequel sont parcourus les différents cotes du polygone, et, par suite, donne le signe des projections.
1/ égailla fondamentale peut s'ùcrirc, en renarquanl quo
proj. AE -- ~ proj.KA,
proj.AB -r- proj.BG -i- proj.CD + proj.DE -h proj.EA = o,
et l'on est ainsi conduit à la proposition suivante ;
Si un mobile parcourt les différents côtés d'un polygone dans un sens déterminé, ta lomme des projections des différents côtés sur un axe quelconque est toujours égale à zéro.
CoROlLAiEË. — Ou voit encore que *( rfeitc lignes brisées de forme quelconque sont terminées aux ileu.v iiÉHES points, leurs projections sur m axe QUElCOJiQUE sont égales entre elles.
Car, pourcliaque ligne brisée, cette projection est égale à la projection de la ligne droite qui réunit les deux estrémités de la ligne brisée.
Expression'trigonométrique de la projection ortlmgonale d'un segment de droite, — Le théorème des projections s'applique aux projections quelconques; mais, comme on en fait surtout l'application aux projections orthogonales, nous donnerons d'abord l'expression de la projection orthogonale d'un segment.
Commençons par défmir l'angle de deux directions. On sait qu'étant données deux droites AB, CD [jig. 5), qui sont ou non p,^ . dansun même plan, il faut, pour avoir l'anglo
u qu'elles font entre elles, déplacer l'une, paral-
lèlement à elle-même, jusqu'à ce qu'elle vienne rencontrer l'autre. Quand la droite CD coupo la droite ab parallèle à AB au point 0, il y a autour du point 0 quatre angles deux à deux égaux, deux aigus et deux obtus, qui peuvent être considérésindjlféremmentcommeles angles desdeux droites. lln'en est Fi^ e plus de même si l'on considère l'angle de deux
directions. Supposons, en effet, qu'on donne des directions aux deux droites. Alors, si d'un point 0 [ffg. 6) de l'espace on mène des pa- , rallèles aux deux droites partant du point O <l "^ et tracées d'un seul cM, dans la direction
^:^' des flèches, ces deux parallèles font un angle
0 ~-^^^~b aigu ou obtus, mais bien déterminé, qui sera
dit Vanglc des deux directions.
Cola posé, considérons un segment AB (fig.j] parcouru dans le sens de AB, et soit r l'angle qu'il fait avec l'axe de projection XT, ou plutôt avec la direction XY des projections positives, Je dis qu'on aura dans tous les cas
proj.AB= ABcosj.
Remarquons d'abord que si l'on déplace îe segment AB parallèlement à lui-même, ni sa projection, ni son angle avec XY ne changent. On peut donc supposer que le segment AB est dans le môme plan que XY, et même que le point A est sur XY. Cela posé, considérons les trois cas qui peuvent se présenter : 1° AB fait avec XY (fig.Z\ un angle aigu. Alors, d'après les conven- .. „ lions faites plus haut, la projection do AB
''L ' CBt + AB :
/1 proj. AB = + Ai,
. si l'on applique au triangle rectangle les formules connues kh^- ABcosBA;^ = ABcosa.
On a donc, dans ce cas,
pTOJ.AB = AB'cosa,
La formule précédente subsiste si AB vient se placer en AB' perpendiculairement à XY; alors a — ~, et, la projection étant nulle, les deux
membres de l'égalité précédente restent égaux en devenant nuls.
Considérons le cas où le segment AB' fait avec XY un angle obtus. Ici, d'après les conventions relatives aux angles,
a = B'AY, et la projection de AB' est
proj.AB'^- - A6'=^^ - AB'cosB'Ai'.
L'angle B'A U est d'ailleurs lo supplément de B'AY ou de a ; on a donc
proj. AB'= — AB'cos(7t — k)= AB'cûsa.
Donc, rfara.f toiu les cas, on obtient la projection d'un segment de divile en muhiptiant la longueur de ce segment pur le cosinus de l'angle qiie fait la droite avec l'axe de projection. W ne faut pas. d'ailleurs oublier les conventions relatives aux angles ou aux signes des projections.
NOTE 1. 5o5
D'après cela, considérons une ligne briste ABCDE (voir fig. 3), et soient a, b, c, d les longueurs des côi^ AB, BC, CD, DE ; «, p, y, S les angles que font ces côtés avec l'ase de projection.
Désignons par / ia longueur de AE, et par i l'angle que fait cette droite avec l'axe de projection. On aura, d'après le théorème des projections,
(3) rtcoSK-i-icosp + i:ciis,'i + dcoiS :- Im&i-.
Le théorème des projections nous fournit donc uno relation entre les différents côt^s d'un polygone et les angles que font ces côtés avec une droite quelconque.
Application h la tnuixforination des coorthnnécs dans le plan , — Soient
deux axes fixes OX, OY(^.g) faisant un angle quelconque, et désignons
p, par X, j les coordonnées d'un point M. Il est
^, facile de voir que ces coordonnées sont les
/ projections de la ligne OH, faites sur chaque
° ^w" axe parallèlement à l'autre axe. Si lepointM
