NOIE V

i l'inteiipbétation des inégalités i;rj gEohéteie analytique,

(PaaecLe.)

Dans la discussion des lieux géométriques, on est souvent conduit à l'examen des inégalités, telles que

ç(j:,/)>o ou <».

Nous allons nous occuper de l'étude de ces inégalités, on supposant que f {jT, j) soit un polynôme algébrique en a: eif. Pour cela, construisons la courbe dont l'équation est

■!{'\J) --=•>■ En général cette courbe séparera les points du plan en plusieurs régions telles, qu'on pourra aller d'un point à un autre point situé dans la même région par un chemin qui ne rencontrera pas la courbe. Au contraire, on ne pourra passer des points d'une région à ceux d'une autre qu'en traversant une ou plusieurs fois la courbe. Pu exemple , supposons que le lieu de l'équation précédente se compose de dpux ovales séparés , on formera trois régions A,B, C {^g- aS) ; les deux premières, formées des points à l'intérieur des deux ovales, la troisième C, des points situés à l'extérieur

Cela posé, il est facile de voir que, dans chacune des régions ainsi définies, ia fonction ? ( j^, j) conservera son signe; c'est-à-dire que si l'on prend deux pointa (a;,, /,), (^j, jj situés dans la même région, et qu'on substitue leurs coordonnées dans ï(a', j), les deux résultats f[x„x,), y (■^„/'J seront de même signe.

En elîet, les deux points M, N {j?g-. iG), étant situés dans une même région, on pourra imaginer un ctemin curviligne Mm/jN, allant d'un de ces points à l'autre sans rencontrer la courbe dont l'équation est

Fig. î5.

ïl.'-,

yGoosle

534 "oi^s '•

Ce chemin curviligne peut lui-mÈme évidemment être remplacé par un chemin brisé Mmpqrsîi composé de droites parallèles aux deux axes, et dont aucune ne rencontrera la ^'S- ^^- courbe. Considérons la variation

do la fonction ? [x, y) sur le premier côléMni de ce chemin brisé.

Quand on se déplace de M en m sur la ligne Mm parallèle h. l'axe des y, Vabsoisse ne varie pas, l'ordonnée X change seule pour tous . 'cspoints situéb entre M et m. La fonction f[T,y) doit donc être considérée ^ur ce premier côté, comme dépendant de la seule \aiiable j , t utrscr^era la valeur x, qu'elle a ou point M, quant à j, elle vaneia enire la valeur^, qu'elle a au point M et la valeur )„ par exemple , qu'elle acquiert en m. On sait qu'un polynôme ne dépendant que d une seule variable e=t une fonction continue de cette variable, et quil ne peut changer de signe qu'en s'annulant; or le polynôme ^(x,^) ne devient nul poui aucun point de la droite Mh(, car cette droite ne lencontro pas le heu des points pour lesquels ce polynôme eit nul, il a donc le m6me signe au point M et au au point m. En appliquant le m6me laisonnement au i,ôté inp sur lequel l'abscisse seule est variable, aux côtes /"/, r/r, is, jN, on voit que le polynôme, quand on parviendra au point N, aura le même signe qu'au point de départ M. C'est ce qu'il s'agissait de prouver. La proposition précédente permet d'interpréter les inégalités, lellcs

Pour cela, on construira la courbe déterminée par l'équation

Cette courbe partagera le plan en plusieurs régions, et il n'y aura plus qu'à chercher celles pour lesquelles la fonction T>[a^,j') est positive. C'est dans ces régions que devra se trouver le point (x, y).

Appliquons ces propositions à quelques exemples simples. L'équation

A^-f- Bj+C = o

représente une droite. Cette droite sépare le plan en deux régions. Dans l'une de ces régions, la fonction Aj: -f- Bj -f- C sera positive ; dans l'autrei elle sera négative. Si l'on considère, en effet, un point situé sur l'axe des y