NOIE VI

i LIEUX GÉOMÉTRIQUES.

{P=i(eMC.)

1 On cûn nif rt lî r ntes moli odes qui periii ttenl ri l rire l'équalion à6i lieuit géométriques Nous lea rappellerons ici et noua présenterons quelques remarques qui n ont pas été dé^ eloppées dans le texte.

n arrive assez souvent qu on obtient immédiatement I équation d'un heu géoraetnque en traduisant analytiquement la proi^riété qui sert de déBnition au heu C es^ amoi pour prendre un exemple simple, que si i on cherche I équation du heu des points tels que le'produit de leurs distances à deux points fixes (a, b], [a, b ) soit constant, on obtient immi^dlatement l'équation du lieu. On a

i{x - uY+[y - bYl [(^ - «'f -H [j- b'n -^-. K.

Cette méthode ayant été employée plusieurs fois dans le tesLe, nous no la développerons pas.

2, Dana d'autres cas, on trouve plus commode d'introduire un paramètre arbitraire que nous désignerons par a. Alors les points du lieu, correspondant à une valeur de ce paramètre, ont leurs coordonnées déterminées par deux équations

Ces deux équations s'interprètent de la manière suivante : si dans la première on donne à « différentes valeurs, elle représente une série de courbes, en sorte qu'à chaque nouvelle valeur de a correspond, en général, une nouvelle courbe. La deuxième équation, considérée séparément, donne une deuxième série de courbes. Cela posé, si dans les deux systèmes on choisit les courbes correspondant à une môme valeur de a, les pointa d'intersection de ces courbes appartiennent au lieu.

Ainsi, par les équations précédentes, le lieu peut être dérini comme engendré par l'intersection des courbes de deux systèmes différents : à une

noTE Ti. 53ç)

courbe du premier système correspondant à une valeur du paramèlre, ii faut adjoindre la courbe du deuxième système correspondant à la m6me valeur du paramètre.

Ce mode de génération, qu'il était utile de signaler, n'indique en aucune manière comment on trouve l'équation du lieu. Revenons aux équations (i) et (a), et supposons qu'elles soient vérifiées par les valeurs a^iij,, a,, ûe^,f, a.; alors a:,, j, seront les coordonnées d'rin point du lieu, et l'on

D'après cela, si l'on considère les deux équations

contenant l'inconnue a, on voit qu'elles seront \etiQee3 pour h metni> valeur x, de a ; elles devront donc avoir une racine commune Exprimon», par conséquent, que ces équations en a ont une racme commune, c'està-dire éliminons a entre ces équations. Nous aurons une lektion

=^(^„jJ----o, qui sera l'équation cherchée.

Il est évident d'abord que tous les points du heu devient satisfaire a cette équation, et, réciproquement, il est facile de démontrer que tout point (^1, j'i) dont les coordonnées satisfont a l'équation

est un point du lieu. Supposons que Von ait

Cette relation est le résultat de l'élimination de h entre les deux équa-

c'est-à-dire qu'elle est la condition nécessaire et suffisante pour que ces équations aient une racine commune. La théorie de l'élimination apprend que cette racine commune sera donnée par une équation du premier dogré. Par exemple, si les deux équations sont algébriques et entières par rapport à a, le plus grand commun diviseur des premiers membres sera du premier degré, et, comme on l'obtient par une série de divisions, lu racine commune h^ sera donnée par une équation du premier degré; elle sera donc réelle et de la forma

yGoosle

54o NOTE TI.

CeLfe racine commune satiafaisant à la fois i

d'où l'on voit que a:,, j, seront bien les coordonnées d'un point du lieu conaspondant à la valeur réelle a, de k. Ainsi tous les points de In courue

ïsront bien des points du lieu.

3. Le raisonnement précédent serait en défaut ; i" si, contrairement à Cil que nous avons supposé, pour tout point de la courbe

ko e 11 al ns en h avaient plusieurs racines conmmnes. Alors ces racines crmmunes étant données par une équation de degré supérieur, pour- I aient fort ben être imaginaires; 2° si, pour des points particuliers de la courbe ti [ r j) = o, les deux équations en a ont plus d'une racine commune il î -iuta lieu, dans ce cas; d'examiner si ces points particuliers font partie du lieu.

i Nous allons donner des exemples de ces deux cas d'exception. Pro-: posons nous d'abord le problème suivant : Une droite de longueur rontante se meut de telle manière que ses extrémités glissent sur deux ho Us tectangidciiresO%, OY {fg.id). Lieu décrit par un point "il invai-iablenient lié à la d/nile.

Nous supposerons que le point M soit lié à la droite par la perpendicn- Fi„, a8, laire CSl = c, soit AB = a, CB =- b. La

figuro ACBM formera un système invariable dont les points A et B se déplaceront sur les deux axes 0¥, OX. Nous emploierons l'arbitraire f , qui est l'angle que fait la droite BA avec OX ou plutôt avec OX'. Soient x, y les coordonnées du point M. L'abscisse x sera la projection orthogonale de OM ou du chemin OACM. La projection de ce chemin se compose de celle de AC augmentée c'e celle de CM; ce qui donne

.r = «cos^H-csin».

Telles sont les équations que déterminent x et 7 en fonction de «. Pour

On aurait de mémo

noTE vi. 541

avoir l'équation du iieu, il faut éliminer f entre ces deux équations, l'our cela, nous alloua d'abord tirer des deux équations les valeurs de ein? et de cosy; ce qui donne

Écrivons ensuite qne sin'» + cos'» = 1, nous trouvons pour l'équation dii

lieu cherché

[4) iai-f^j=4-[i.-c^) ={„l>~c'Y,

qui représente une ellipse, puisque les termes du second degré sont la somme de deux carres Cetto ellipse est évidemment rapportée à son centre. Réciproquement, à (out pomt de cette ellipse correspondent des valeurs de sinf et de cosç donnéea par les équations [3). Ces valeurs sont acceptables, puisque la somme de leurs carrés est égale à 1 d'après l'éqnation (4 ), et elles déterminent sans ambiguilé la valeur de f correspondante à chaque point de 1 ellipse Donc tout point de l'ellipse fait partie du lieu, l'ellipse tout entière est déciite par le point M.

3. Mais considérons le cas particulier où ab — c'= o. Dans ce cas la problème se simplifie. Reportons-nous aux équations qui donnent ^ ctj-, multiËlions la première par b, la seconde par — c, et ajoutons-les. Nous aurons l'éqnation

qui tiendra lieu d'une de ces deux équations et qui sera l'équation du lieu. Dans ce cas particulier, le point M décritune droite passant par l'origine, et les équations qui donnent x, y peuvent être remplacées par le système suivant :

Tout point de la droite bx ^cy = o est-il un point du lieu? D est évident, géométriquement, que non ; car le point M ne peut s'éloigner indéfiniment de l'origine, d'après la nature de la question : c'est ce que va nous montrer lé calcul. Soient en effet x„ j, les coordonnées d'un point de la droite, la valeur de f correspondante sera alors donnée uniquement par la première équation du système (5) [équivalent au système des deux équations qui donnent .c et 7],

j-, — ucosç-Hcsino,

qui fournit pour v deux valeurs ; mais ces valeurs ne sont réelles que si

5|a NOTE VI.

Ainsi, les seuls points de la droite qui soient points du lieu sont ci dont l'abscisse satisfait à l'inégalité

o poui- tout point de la droite oi

l'inégalité peut s'écrire

Picniplaçons c' par sa valeur nh^ on aura

Ainsi les seuls points de la droite qui soient points du lieu sont ceux qui sont à une distance de l'origine moindre que « -k /> ou AB. C'est, du reste, co qu'on peut facilement expliquer par la géométrie.

6. Revenons maintenant au problème général, et examinons le deuxième cas d'exception dans lequel le raisonnement ne s'applique plus. Étant données les équations

on obtient l'équation du lieu en éliniinant a entre ces doux équations, ce crui donne la relation

Réciproquement nous avons vu que tout point de cette courbe [ .i-, , y, ) est un point du lieu, pourvu que les deux équations en a

ra mm n lors cette racine sera donnée par

n d m n obtient après une série de divi-

bupp n m n nn q p point (a^,,/,) les deux équations

en a aient plus d'une racine commune, qu'elles aient deux racines communes par exemple. Alors ces deux racines communes seront données par une équation du second degré

PK'-hQï-i-R= o, uîi les coefficients P, Q, R sont des fonctions do x^, y^ ; cette équation du

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second degré pourra avoir des racines imaginaires, et l'on ne pourra déterminer alors aucune valeur réelle de a correspondant au point (a^,, j,). Si donc on a supposé que le paramètre a prend seulement des valeurs réelles, le point (■j^,,/,) ne fera pas partie du lieu. On peut énoncer les propositions suivantes, qui sont généralement vraies et que nous nous dispenserons de démontrer :

1° Si l'équation du second degré en a a ses racines imaginaires, le point (■^n 7(1 sera un point isolé sur la courbe;

2° Si l'équation a ses racines réelles et inégales a,, a,, le point [x^,y,) correspondra à deux valeurs du paramètre «,, a^, et sera, en t^ém'iat, un point double du lieu cherché,

7. Pour donner un exemple du cas que nous venons d p\aminer, proposons-nous le problème suivant : D'an point on abaisse ilei, perpendiculaires sur les tangentes à un cercle : on demande le lien des pitds de ces perpendiculaires ?

Soient

l'équation du cercle, et a, b les coordonnées du point. L'équation d'unu tangente au cercle, en fonction du coefficient angulaire, sera

La perpendiculaire abaissée du point sur cette tangente aura pour

et le pied de la perpendiculaire sera donné par les deux équations ( 5 ; et (6). Pour avoir l'équation du lieu, il faut éliminer m entre ces deuj équations. On tire de l'éciuation (G)

Rendons l'équation [ 5 ) rationnelle i elle devient

et si nous remplaçons m par sa valeur tirée de l'équalion ( 7 ) , nous trouvons pour l'équation du lieu

(9) (j'+«'-««-sj)'=R'[(j:--«)--i-(j--sr].

A tout point de la courbe (9) correspond une seule valeur de m, déter-

544 îiotE VI.

minée par l'équation (7) et ràelle. On voit donc que tous les points de lu courbe font partie du lieu.

Il faut cependant faire une exception pour le point [/ = b, x = a) qui fait partie du lieu. Pour ce point, la valeur de m fournie par l'équation (7} est illusoire, elle se présente sous la forme -; en d'autres termes, l'équation est satisfaite d'clle-mÈme; il faut avoir recours à l'équation (S), qui devient

(i -maY = 'B}(m^-i-i), m'{o'-~W) - 7.b(im -\- 1>'-~R^= o, et donne pour m deux valeurs. Ces valeurs sont réelles si

il faut que le point soit extérieur au cercle. Si lo point est intérieur au cercle, les valeurs de m sont imaginaires, et l'on voit bien alors, conformément à la théorie, que ce point ne peut faire partie du lieu, puisque les points du lieu, étant les pieds des perpendiculaires sur les tangentes, doivent être tous extérieurs au cercle, tous les points d'une tangente étant en dehors du cercle.

La discussion de la courbe (9) montre que si le point {a,b) est extérieur au cercle c'est un point double, et que s'il est intérieur, c'est un point ivAé La courbe est d'ailleurs un limaçon de Pascal, Ces résultats sont confoimes aux propositions générales que nous avons énoncées sans démonstration

8 H est utile de faire remarquer, en terminant ce sujet, que le cas de deui. racines communes aux deux équations en a n'est nullement un cas e\ceptionneI Pour que les deux équations

aient deuï rjunes communes, il faut que deux équations do condition soient Kitisfaitfô Or, comme on dispose de deux inconnues x^,f„ on pourn en général, déterminer ces deux inconnues de telle manière que les deux équations de condition soient satisfaites. On aura donc un nombre limité de points du lieu, qui seront, en général, des points multiples, et pour lesquels les équations en a auront deux racines communes. Pour chacun de ces points, il sera indispensable de faire une discussion particulière,

9. Le problème général que nous traitons donne lieu à d'autres remarques importantes. Nous avons vu qu'étant données les deux équations

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