Le déterminant e identiques
\ deux colonnes sont
i. Si l'on multiplie tous les éléments d'une ligne ou d'une colonne par im nombre, le déterminant est multiplié par ce nombre :
î dm b' \ \ d h' \
S. Si les éléments d'une ligne sont nuls à l'exception d'un seul, le dél.erminant se réduit, au signe près, au produit de cet élément, par le déterminant obtenu en supprimant la ligne et la celonno auxquelles il appartient. Ainsi
Il 'Suffit, pour se icndre compte de cotte propriété, de supposer que le deletmmant est dé\eloppé suivant les éléments de la première colonne.
6 Si les éléments d une ligne sont chacun la somme de deux quantités, le déterminant peut se remplacer par une soramo do deux déterminants.
7. Le produit de deux déterminants du même ordre est un déterminant ^u'on obtient de la manière suivante.
KOTE TH.
Considérons, par exemple, deux détermitianls du l
lém t m It pi 1 1
dan 1 p d 1 d
mm d p d i t
1 p m lonne en
p Ère 1 DES dans
p d ts 1 deuxième
ta d 1 p mière ligne
1 t m t t faisant la
i 1 p lier degré
lo dtaon nateu coïimun d s nconnues e cientsdes nconn es
Quant au nun at n 1 11 nt po 1 aque nconn e n remplaçant,
dans le d le n na i cèdent I I n i ff / ■tic incoii-
/raepa la olo ne des le mes tout COQ us des équ t ons / /,•',:..,/■■„.
9. Si 1 on a a élmiiner ;; inconnues entre n + i équations du premier degré, le résultat de l'élimination s'obtient en égalant à zéro le dfitenninant formé par tous les coefBcients. Ainsi le résultat de l'élimination de j;, X entre les équations
Xx + B;- -I- C = o, A'j+B'r + C' = o.
Il arrive quelquefois que le problème se présente d'une manière un peu différente : on a n équations contenant n inconnues, mais ces équations sont privées du second ternie. Par exemple, pour « = 3,
^'j: 4- B> -+- C"2 = o, et ces ^^quations doivent être yérifiées pour des valeurs do x, y, s qui ne sont pas toutes nulles. En divisant !es premiers membres par z, les équations ne contiennent plus que les rapports -i -i et le résultat de l'élimination de ces rapports s'obtient on égalant à zéro le déterminant des coefficients :
Les propositions précédentes reçoivent de nombreuses applications. Nous traiterons, pour le moment, seulement la question suivante, dont la solution par les méthodes ordinaires serait fort longue.
Soient les équations.
(0 A.'- +Bj -+-C =.0,
(■2) A.r'^-B.r'-rC'=o,
(3) A.i-'-'-wB.>''-t-C"=o,
représentant trois droites. On demande la surface du triangle formé par ces trois droites. Soient lx,y) les coordonnées du point d'interseclion des côtés (a) et (3j, 3^„x, celles du point de rencontre des côtés [i), (3), enfin (^,,75) celles du sommet opposé au côté (3). On aura, en introduisant trois arbitraires^, />,, ;>,,
(4) S A'.K +fl',.-i-C'.
{ A'.f-r-BV + C".
/ A.r, -i-Br, -^ C ■-
Le premier groupe, par exemple, exprime que le sommet [x, j) se trouve sur les deux côtés (a), (3) du triangle, et non sur le troisième. D'ailleurs k surface du triangle formé par les trois points est, d'après une formule rappelée plus liaut,
riliiltiplions le déterminant du seMiid membre par le s'
1 C A" D'après la règle de mul implication (7) n
,-hBj, C'-t-A'
t-B> C"h- X".r -i-B"j' ^ G'/, C"-i- A".'-,-i-B"v, hB'j-, C-i- A".r,-^B"j,
Tout se réduit à la détermination de//, //, p". Considérons le groupe (4), on peut l'écrire
Aj- -f-Bj- +C ~p^«,
A'.r -i-BV -.-G'=--= o,
Pour avoir p éliminons x, y entre ces trois équations, ce qni donne (D)
