I A" U" I I A IS

et, par suite, la formule (7) donno

- -^ [AB'C— AC'B'-i-CA'C-SA'C+BC'A'-CB'A')' 2 "" (ÂB'— BA')(A'B"-B'À'') (A°B-B''Ay"

La mélliode f|iie nous venons de suivre est due à JoacIiimstiiaK

KOIE ¥111

i RÉDUCTION DE l'Équation du siîcond degré a sa foumî!

BIÎS COORDONNÉES.

Considérons une éf[iiation du second degré

rapportée à des axes obliques faisant un angle 0.

On a vu (p. i54) que cette Équation peut 6tro ramenée à l'une des deux form(s

, l MX'-wNY'-i-P = o,

'^' lPY'-i-aQX=o

par la transformation des coordonnées. Je me propose d'indiquer, dans cette Kote, une méthode différente de celle qui a été exposée (p. i54), et qui s'applique au cas où les axes primitifs font un angle quelconque et ne sont plus nécessairement rectangulaires. Cette méthode est fondée sur la notion des invariaiUx, due i un géomètre anglais, M. Boole.

Supposons d'abord <|ue, dans l'équation primitive, on déplace les axes parallèlement à eux-mêmes, il faudra, en désignant par .r,, y, les nouvelles coordonnées et par a, b les coordonnées de la nouvelle origine, remplacer, dans l'équation { i }, a^ par jr, -+- a, y par j, + 6 ; si nous ellectuons cette substitution et que noua développions les calculs, la nouvelk' équation sera

(3) A.cî + B.r,j,-HCj;+ ^,/,; [a, b) -.-rJl {", b)+f{". b) = o.

On voit que, dans cetl« nouvelle équation, les termes du premier degré et le terme constant n'ont plus !es mêmes coefficients; au contraire, les coefficients dfâ termes du second degré sont restés les mêmes. Ainsi :

Quand on passe d'im système d'axes à un autre système d'axes parais lèlcs et de méiiie direction, les termes du second degré coiiscivent las

Supposons maintenant qn'on effectue une transformation des axes en changeant les directions, et en conservant la même origine. On sait

( vo!r Note I) que, dans ce cas, v,, j', désignant les nouvelles coordonnées, les formules du transformation sont de la forme

D'ailleurs l'origine restant la même, les deux expressions

j: - + /'-!- ÎXJCOSII et a:; + jj+ ajTiriOOsO,,

qui représentent toutes deux le carré de la distance d'un point à l'origine commune, doivent être identiques. Ainsi les formules de transformation sont telles que l'on a identiquement

Cela posé, substituons, pour avoir la nouvelle équation de la courbe, les \aleurs de .r, y en fonction de x„ j, dans le premier membre de l'équation (i). On aura une nouvelle équation

et il est évident, puisque les formules sont homogènes, que les termes du second degré de la nouvelle équation proviendront des termes du second degré de la première. Par les formules de substitution,

se transformera en

A',i; + B'.r,r,-HC'j;.

On aura l'identité

(6) A.r'+B.cr-i-Cj'= A'j^;-f-n'j;,j,4-C'j;.

Si nous ajoutons membre à membre les deux idenlitùs (5) et (6), après avoir multiplié la première par )., nous obtenons

il) i

c'est-à-dire quo lo premier membre de cette identité donnerait le second si l'on y mettait à la place de -e,j leurs valeurs en x„x,.

Il résuHe de là que si, pour une valeur de \ le premier membre devient un carré parfait, pour la même valeur de )., le second sera aussi un carré parfeit; en effet, si le premier membre devient le carré de [aa; -j- 6^), le second deviendra le carré de {«["'■^,-i-''J',] + !>{px,-h r/y^)'], obtenu en remplaçant x et y par leurs expressions en a-,, /,. Par suite, les deux membres de l'idenlité deviennent carrés parfaits [lour les mêmes valeurs de ï.

>>'+lB + jUi)s9)ij+((

(.V-t-X)j7^H-(E'+2lC0Sej

NOTE ¥111. 5bl

Or le premier membre est vn carré parfait si

(B -i- aicosS)'- 4{A 4- 1) (C -+- J) = o;

ce qui donne, pour 1, r&iuation

(8} 4ï'sin=a + 4X(A-i-C — BcosG) -+-4AC-B'= o.

Lo second membre deviendra de même un carré parfait si i est racine da l'éqnalion pareille

(9) 4';n a,)'-*- 43>(A'+C'- B'cos9, j -i- 4A'C'- B'-= o.

Les deui. membres devenant carres parfaits pour les mêmes valeurs dei, les équation'! (8) et (g) doivent avoir les mêmes racines. Il suffit, pour ce)d que la somme et le produit des racines soient les m6raes dans les deux équations On aura donc nécessairement

, , *-hC — Bcose A'+C— B'cosfl, Co) — ^i^g = —,j^rf^ •- .

E'— 4AC B" — 4A'C' *"' sin^e ~ sin^O, '

C'est ce qu'on esprime en disant que, lorsqu'on passe d'un sysième d'axes à un autre système ayant même origine, les deux expressions

A + C — Bcosa B'-4AC f'*' sin-fl ' sin'Ù

conservent la même valeur. C'est en raison de cette propn é q n appelle des invariants.

Supposons maintenant que l'on passe d'un système d'axe un système quelconque. Cette transformation peut s'effectuer ; d p

çant les axes parallèlement à eux-mêmes, ce qui ne change p de A, B, C, et par conséquent celle des expressions [la) ; 2° ensuite les directions des axes sans changer l'origine : alors le A, B, C prennent des valeurs A', B', C, mais les expressions [ ) avec les nouveaux coefflciects conservent la même valeur q anciens. On voit donc que, dans un déplacement quelconque d'axes, les deux expressions

A-+-C — BcosO B'~4AC

sont invariables, ce que nous nous proposons d'établir.

Toutefois, le résultat précédent suppose que, dans la transformation, on a simplement remplacé j:, y par leurs nouvelles valeurs, exprimées en x', f', sans cliasser les dénominateurs des formules générales de j,?. de rjl. à Ui G. 30