BDE + CD'+F{B=-4AC

Or on sait que le nouveau terme constant est la valeur de la fonction f[3:,y), dans laquelle on remplace x, y par les coordonnées «, b du centre. On a donc

- DDE H- CD'-+- F{B'- 4AC)

Supposons maintenant qu'on rapporte la courbe à un autre système d'axes, et que f{x,y) devienne t^[x\ y'); alors en appelant a', b' les nouvelles coordonnées du centre, /(n, i) deviendra ^(ct', i'), et d'ailleurs on a, pour la nouvelle équation,

, ,, , , ,,, A'E"— B'D'E'+C'D"-t-F'(B"— 4A'C'l U41 7(«,M = - ii-^-4A-C- ^ î

yGoosle

NOÏE VI!).

it, po\ir abriîgijr,

(ïî

ridenlité

(iG)

et comme on a aussi

E'-BDE + CD=-i-FlB'-4AC), ) A'=iVE"-B'D'E'-;-C'D" + F'(B"— 4iVC'),

n peut multiplier membre à membre, ce qui donne

En résumé, on voit que si l'on considère les trois quantités , A + C~Bcoa'! „,__B'-4AC

AE=-TÎDR + CD=+ Piè-

ces trois quantités conservent la même valeur lorsqu'on passe d'un système d'axes à un autre, en substituant dans/(ic, r),àla plac« àex, y, leurs valeurs en fonction des nouvelles coordonnées.

Ces résultats conduisent, nous le verrons, à de nombreuses conséqueuces; mais, auparavant, nous ferons remarquer que nous n'avons démontré le dernier que dans le cas où la courbe a un centre unique. 11 n'en est pas moins vrai pour le cas de la parabole, car on conçoit qu'on puisse le vérifier par des calculs assez longs, mais dont le résultat ne dépend en aucune manière de la nature de la courbe.

Quandletroisièmeinvariant est nul, l'équation représente deux droites; quand le second s'annule, elle représente une parabole ; il est facile de démontrer que, si le premier est nui, la courbe est une hyperbole équilaière. Appelons m' et m' les coefficients angulaires des deux asymptotes, la condition de perpendicularité sera

On sait d'ailleurs que m', m" sont les racines de l'équation Cw'-t-Bm-t- A = o;

554 NOTE Vin.

d'où résulte, pour la condition cherciiée,

Mais la iransFormation des coordonnées n'est pas la seuîe dont une équation du second degré soit susceptible. Quand on a obtenu une équation

on peut la multiplier par une constante m pour chasser, par exemple, certains dénominateurs. Alors, tous les coefficients étant multipliés par m, nos trois invariants sont multipliés, le premier par ;n, le second par n;', le troisième par n^ ; mais les deux quotients

fB'-4AC)

conservent encore la mième valeur. On les appelle des invariants absolus. Il suffit que deux équations représentent la ujÈme courbe pour que ces fonctions aient la même valeur, quand on les forme, soit avec les coefficients de la première, soit avec ceux de la seconde.

Les théorèmes précédents permettent de résoudre immédiatement lu question proposée.

Htant donnée une équation

rapportée a des axa faisant un angle S, trouver les coefficients de l'équolion réduite

MX'+KY' — r = o,

i/ui rtpn sente la courbe rapportée à ses axes.

Pour résoudie cette équation, nous égalerons les valeurs dos invariants relatives aux deui équations à l'équation primitive et à l'équation réduite Soient H, H , H" les invariants pour l'équation primitive donnés par les formules (17). Pour l'équation réduite, ces invariants prennent les 'saknr'-

M-i-N, — 4MN, 41'MN.

On a donc les trois équations

U--^M-hN, H'=-4MN, H"=4MNP.