H^P, H''=4PQ

formules qui déterminent P et Q

On peut encore uiih-«r les notions relatives aus invariants pour la démonstration des llnSoiomc- d Apollonius. Soit

l'Équation d'une ellipse. Si l'on passe des axes à un système de diamètres conjugués, le premier membre de cette équation deviendra !e premier membre Je l'équation suivante

qui représente l'ellipse rapportée à deux diamètres conjugués. Les invariants formés avec les coeiîicients prendront par conséquent la même valeur dans les deus équations. On a ici

Sitf» '

«"ù"sm"S'

56ti Kori! vin.

d'où résultent les deiix équations

ab = a'6'sinO,

On sait que deux conrbes à centre unique sont semblables quand leurs uses sont proportionnels. Il faut donc que, dans les deux équations réduites des deux courbes

MX' +NY' — P =0,

M'S;+N'ï;-P'=o, les coeflîeients M, N, M', N' soient proportionnels, que l'on ait

m m; M^^ll

N^ N' °" N~M'' C'est ce qu'on exprime par la formule unique (,8)

r! + N)' (M' + N')' 4M.M "^ iM'N' '

qui, résolue par rapport à — , donnerait, soit

Or les deux membres de l'égalité (rg) sont los invariants absolus yj-, relatifs aux deux courbes. La condition de similitude est donc que l'invariant absolu

H' sin'9(B'— UCl

soit le même pour les deux courbes.

Si les deux invariants absolus étaient égaux, les deux courbes seraient