BDR LA THÉORIE DES TANGENTES

(l'.SC 104.)

On a vu (p- io4 ) la définition générale de la tangente à une courbe en un point M. C'est la limite des positions d'une sécante MM' quand le point M' se rapproche indéfiniment du point M. Si l'on désigne par jt, y les coordonnées du point M, par x', y' celles du peint M', le coefficient angulaire de la sécante MM' est

celui de la tangent* sera donc la limite du rapport précédent quand lu différence :e ' ~ ^ tend vers zéro.

Si l'on considère l'ordonnée de la courbe comme fonction de l'abscisse, .x' — x sera l'accroissement de la variable j; quand on passe du point M au pointM';/'— r sera l'accroissement de la fonction j correspondant ii l'accroissement de la variable. La limite du rapport de l'accroissement de la fonction à celui de la variable, quand l'accroissement de la variable tend vers zéro, c'est, par définition, !a dérivée de la fonction. On voit donc que la théorie des tangentes se ramène à celle des dérivées. Le coefficient angulaire de la tangente au point (a;, ^) sera la dérivée de j considéréL' comme fonction de l'abscisse x.

Soit, par exemple, la courbe définie par l'équation

Le coelïïcient angulaire de la tangente au point [x,y] sera la dérivéL! cosj: de y par rapport à x, et comme la tangente passe au point [x, y), sou équation sera

Y-j = cos^{X-..-).

En général, une courbe est définie par une équation de lu forme L'algèbre apprend {p. 109) qiic, dans ce cas^ la dérivée .r' de j p!:r