MOTE XIV

>.'Q, ce qui donne les relations

auxquelles il l'aut joindre I(

ni -. «')

suivantes :

-qt = >.).

qui expriment que le point de contact est sur la droite. Entre les sis équations (lo) et (ii), on éliminera Ifâ rapports des sis quantités x, y, z, t, l, V, et l'on aura la relation cherchée. Dans le cas des surfaces du second degré, cette relation est

On peut ae proposer le même problème sous une autre forme, en considérant la droite, non plus comme infersection de deux plans, mais comme déterminée par deux points A, B. Alors, soient (a-, j„ z, i), [x', j', z\ t') les coordonnées des points; on substituera, dans l'équation, les valeurs x -{-"i-x/ correspondant à un point quelconque de la droite AB, et l'on exprimera que deux valeurs de \ sont égales. Appliquons cette méthode aux surfaces du second degré ; l'équation en i sera

La condlion d'égalité des racines est ici

Si cette condition est satisfaite, la droite AB sera tangente à la surface. D'après cela, si l'on suppose x', 7', a', e flses, x, y, z, t seront les coordonnées d'un point situé sur une tangente quelconque, menée à la surface par le premier point. En d'autres termes, l'équation [12) représentera le

KOTE XIV. Gl3

cane circonscrit à la surface, lieu dos tangentes menées par le point [x',x', z', t'), c'est-à-dire ayant son sommet en ce point. On voit que, ei le point est sur la surface, /(j-',/', s', l') est nul, et le cône se réduit au plan tangent en ce point.

m. Étant donnée une surface du second de-gré, proposons-nous de déterminer lûusles plans tangents passant par un point Â(^', j-', z'). Nous prendrons pour inconnues les coordonnées x, y, z, i du point de contact. L'équation du plan tangent sera

x/; -f Yf; + i.n + T// :-= o.

Si l'on exprime que ce plan passe par le point A, on a la relaliun qu'on peut encore écrire

('4) -^,/;'.-Hj/;.+^.a^-H^r; = o.

Cette équation représente un plan qui ctDupera la surface aux points clierchés. Ces points se trouvent donc sur une section plane, réelle ou imaginaire. Si l'on joint tous les plans de cett« section au point A, on forme un cône du second degré, dont' toutes les génératrices sont tangentes à la surface. C'est le cône circonscrit dont nous avons déjà donné l'équation (la).

Le plan représenté par l'équation [14) s'appelle /^ton rfe contact <mpkm polaiiv du point A. Lorsque le point A est sur la surface, son plan polaire est le plan tangent en Â. C'est ce qu'on peut expliquer de la manière suivante.

Le plan tangent en A coupe la surfkce suivant deux droites. Soit B un point de l'une de ces droites, AB sera une droite sur la surface, et le plan tangent en B contiendra la droite AB, qui est à elle-même sa propre tangente en B. On voit donc que ce plan tangent doit passer par le point Â.

IV. Supposons qu'on demande de mener à la surface un plan langent passant par une droite. Soient A, B deux points de cette droite, et ^\ x',. .. leurs coordonnées. Le plan tangent devant passer à la fois par le point A et parle point'B, son point de contact devra se trouver à la Cois dans les plans de contact de A et de B, ce qui donne les deux équations

yGoosle

6l4 NOIE XIY.

La droite représentée par ces deux équations coupera la surface aus points cherchés. On pourra donc mener deux plans tangents à la surface par la droite AB.

Dos deux équations [i5), oq déduit

Cette nouvelle équation est celle du plan de contact d'un point quelconque M (x' 4- ).a:°,.,,) située sur la droite AB. On vérifie donc que les plans de contact de tous les points de la droite AB passent par !a droite ( i5j. €ela doit être, puisque tous ces pians doivent contenir les points de con. tact des deux plans tangents qu'on peut mener par la droite AB. La droite déterminée par les équations (i5) s'appelle la droite polaire de AB.

On démontre de la manière suivante que la relation entre les deux (droites AB, CD est réciproque. Soient A, B les points où la première rencontre la surface, C, D les points où la seconde la coupe.

Les deux droites AC, BC sont tangentes en A, et comme elles contiennent un autre point A ou B de la surface, elles en font partie tout entières. De même pour les droites AD, BD. D'après cela, les deux plans (AC, AD), (BC, BD) sont les plans tangents en A et B menés par la droite CD; les deux plans (AC, BC), (AD, BD) sont les plans tangents en C, D, menés par la droite AB On voit donc que chacune des droites contient les points de contact dee plans tangents menés par l'autre.

Les méthodes précédentes nous fournissent un moyen simple de trouver les équations des deux [.lans tangents menés par une droite AB à une surface du second degré On prendra l'équation du cône circonscrit à la surfice tyant son sommet en A, équation que nous avons donnée plus haut on cheichera ensuite le lieu des tangentes menées du point B à ce i.one en emrlojint de nomeau l'équation (12). Ce lieu se compose des deux plans tangents au cône menés par le point B ; ces plans passent par la dioite AB, et sont tous les deux tangents à la surface.

V. Enfin, la théorie du plan tangent nous donne un moyen de classer les surfaces du second degré d'après la nature de leurs points singuliers.

Le plan tangent en un point de la surface est toujoure bien déterminé tant que les quatre dérivées

ne sont pas nulles en un point de la surface. Cherchons quelles sont les surfaces du second degré ayant des points singuliers.

Revivons les c^quations

; id = A .îT + B'f -i- B'ï - C ; r-T o, 1 i f' = BV + A'r + Bs -1- Ci = o,

:es quatre équations, auxiiuelles il faut joindre l'équation

qui exprime que le point est sur la surface, déterminent les points oii le plan tangent est indéterminé. L'équation de la surface, qui peut s'écrire

est une conséquence des équations Çi6). La question se réduit donc à l'eKaraen do ces équations. Leur déterminant