ABC
s'appelle le hessicn de 1 i,q latnn ou de la surface du second degré. Tant qu'il ne sera pas nul, Tes ilquation (i6) ne seront vérifiées que par le système inadmissible de i Tleurs
Si le hessien est nul, les quatre plans représentés par les équations (i6) se couperont au moins en un point, et la surface aura au moins un point singulier. N 11 t q d ce cas li se éduit à un cône
du second d é
Soit SIep tàdtcef fin p Iqlle plan (angent
devient ind te é T t d t i t S p a la surface en
deux points 1 f t p p t p t d I irface, elle cou-
pera celle-c t p t t I t î t lie tout entière.
On voit do q 1 f dp é de droites pas-
sant par le p 1 8 ce d .6 t 6 ^yant pour base
une courbe d coddt,é[N d cylindre comme
un cône ayant son sommet à l'infini.)
Si les quatre plans (i6) se coupent, non plus en un point unique, mais suivant une droite, nous avons vu que, dans ce cas, tous les mineurs du
6l6 NOTE XIV,
premier ordre du hessien seront niils. Alors, il y a une ligne de points doubles ; toute section plane de la surface contiendra un de ces points doubles, et se composera de deux droites distinctes. On aura nu c6ne donl ïa base sera formée de deux droites C'est le Sîitème de deiu: pians dis-
Enfin, si les quatre plans (ib) se confondent, il y aura un plan de points doubles. Toute section phne aura une ligne de points doubles, elle sera formée de deux droites confondues , 1 équation représentera deux plans confondus, son premier membte sera un carré parfait. Dans ce cas, tous les mineurs du second ordre du !ie%!en seront nuls En résumé, nous avons quatre classes de surfaces 1° Les surfaces générales, pour lesquelles le be>«ien n f^t p nul t dont le plan tangent n'est jamais mdttermme
a" Le cine général, ayant pour base une courbe oen^ralo du second degré pour lequel le hessien est nul, sans que ks mineurs du premier ordre le soient tous ;
3° Le syxtcme de deux plans distincts, pour lequel tous les mineurs du premier ordre du hessien sont nuls sans que les mineurs du second ordre le soient ;
4° Le système de deux plans eonfoiidi s, pour lequel toi ^ Ils mu eurs du second ordre du hessien sont nuls
On distinguerait encore ces deux dernières classes du cune genénl en rerriarquant que la condition de contact do t Être iduntiquenient satisfailt pour tout pian dans le cas de deux plans distinci-, et pour toute droite dans le cas de deux plans confondus
L'équation générale de deux plans di'vtmcts conlient six coefficients, celle d'une surface en contient neuf On voit qu'il doit y avoir trois relations entre les coefiicients quand la surface se compose de deus plans. Par conséquent, les dj\ équations qu'on obtient en égalant à zéro tous les mineurs du premier ordre ne sont pas distinctes; mais, comme nous l'avons déjà fait remarquer, on ne peut faire, entre ces équations, !e cbois de trois, ou même d'un plus grand nombre, qui soient toujours nécessaires et suffisantes. La même remarque s'applique au cas de deux plans confondus. Si l'oa demande qu'une surfece se compose de deux plans, il faudra exprimer que les quatre équations (i6) se réduisent à deux si les plans sont distincts, & une s'ils sont confondus.
