NOIE XV

DU l'LAH l'OLAini! DAKS LES SURFACES I)U SËCOmi DEGIlC.

On dit que deux points A et B sont conjugués par rapport à une surface du second ordre, quaniî la droite AU coupe la surface en deux points N, N', divisant Iiarmoniquement le segment AB. D'après cela, à nnpointA correspond sur toute sécante un conjugué B, qui est le conjugué harmonique du point A par rapport aux points d'intersection de la sécanU et de la surlace.

Soient (.r,, . , , ^', . . .) tes coordonnées de deux points A et B, et clicrchons la relation qui doit être satisfaite pour que ces deux points soient conjugués dans la surface Substituons dans l'équation de cotte surface a: -h Ix",. . ., nous aurons 1 équation

qui donne les valeurs de 1 correspondantes aux points N, K' d'intersection de la droite ÂB et de la surface. Pour que les deux segments AB, NN' so divisent harmoniquement, i! faut que les deux voleurs de 1 correspondant aux points N, N' soient égales et de signes contraires. L' équation du second degré en 1 ne doit donc pas avoir do termes du premier degré, ce qui donne la relation

qu'on peut encore écrire

Si, dans l'équation précédente, nous regardons 3:', j', s', i' comme fixes, elle représentera évidemment le lieu des conjugués de ce point sur toutes les sécantes passant par ce point. Ainsi :

Si l'on prend les conjugués d'un point A par rapport à une surface du second degré sur toutes les sécantes passant en A, îe lieu de ces conjugués est un plan ; on l'appelle plan polaire du point A,

L'équation de co plan est identique à celle que nous avons déjà trouvée

6l8 NOTE XT.

pour le plan de contact. En effets ai, par le poînl A, on mène une tangente à la surface, le conjugué de A sur cette tangente est évidemment le point de contact. On voit donc que le plan polaire doit contenir tous les points de contact des tangentes menées de A à la surface : il doit donc coïncider avec le plan de contact.

On peut encore employer la méthode suivante pour trouver ia lieu des conjugués harmoniques d'un point A. Menons làr le point A un p!an quelconque qui coupera la surface suivant une conique, et cherchons les points du lieu situés dans ce plan ; pour cela, il faudra, par le point A, mener les sécantes situées dans le plan considéré, et prendre le conjugué du point A par rapport aux points d'intersection de ces sécantes et de la conique de section. Ce lieu est évidemment une droite polaire du point A par rapport à ia conique de section. On voit donc que !ô lieu cherché est coupé, suivant une droite, par un plan quelconque passant parle point A. En d'autres termes, toute droite qui a deux de ses points dans le lieu y est contenue tout entière. Le lieu est donciîD plan, et il contient les pointa de contact de toutes les tangentes menées de A à la surface. C'est le plan de contact.

Discussinn du plan polaire. — L'équation du plan polaire de A {^', y', z', t'\ peut s'écrire sous l'une des deux formes suivantes ;

'fi + 7* + .*-ny;, o.

Ce plai

î deviendri

1 indéterminé si i'on a en même temps

Ainsi :

Pour tout point singulier de la surface, le plan polaire est indéterminé; pour tout autre point, le plan polaire est déterminé C'est ce qu'il est. facile de justifier, car la sécante passant pai un poml double S coup» ia surface en deux points confondus en S, et le conjugué hiimonique de S est indéterminé.

Le plan polaire ne passe pas en général par un pomt fike cir l'équation ( 3 ) ne peut être vérifiée, quels que soient j, i - ( que si les quatre dérivées s'annulent pour un système de valeurs de a', j , s, t : Ce qui n'arrive que lorsque la surface a des points doubles et pour les coordonnées de ces points. Donc :

Quand la surface a des points doubles, le plan polaire contient tous les points doubles.

Ainsi, les plans polaires dans le cQne passeront tous par le sommet du cône; dans un système de deux plans distincts, ils passeront tous par la

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ligne d'intersection dos deux plans ; enfin, dans un système de doux plans confondus, ils coïncideront avec le plan unique représentû par Véqualion. Deux points A, B(-c',.. ., j:",. . .) n'ont pas en général le même plan polaire, car, si les deux équations

représentent le même plan, elles auront leurs coefficients proportionnels, et l'équation

devisndra une identité pour une valeur convenatle de - • Or coite équa-

F tion représente le plan polaire d'un point HÇla^'+ \-.x',...] situé sur la droite AB. Le plan polaire étant indéterminé, puisque son équation est identique, le point H sera un point double de la surface. Ainsi ;

Deux points ont toujours des plans polaires distincts, à moins qu'ils ne se trouvent sur une droite passant par un point double.

Par suite :

Dans une surface générale, les plans polaires de deux points sont toujours distincts; dans un cône, tous les points situés sur une même droite passantpar le sommet auront même plan polaire; dans le système de deux plans, tous les points situés dans un même plan passant par la ligne d'intersection des plans auront même plan polaire; enûn, dans le système de deux plans confondue, tous les points de l'espace ont même plan polaire.

Diipôle d'un plan. — On appelle pâle d'un plan tout point dont ce plan peut être regardé comme plan polaire. D'après la discussion précédente, on voit que, dans certains cas, un plan peut avoir plusieurs pôles.

l'équation d'un plan, et proposons- nous de déterminer les coordonnées du pûle de ce plan. En écrivant que cette équation est identique à celle du plan polaire, on trouve les équations

qui déterminent le pôle; représentons par al la valeur

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ports prâcâdonts. Les équations qui détGrminint le pôle seront

1 y: ^B'.r+ Ej +A":-hCV=/A,

et elles détcrniinoront en général un système unique de valeurs pour les rapports ?i ^! ?> ^i et, par conséquent, un pôle unique. Nous allons faire îa discussion de ces équations.

Leur détenninant est !e hessien H de la surface. Donc, tant que le hesslen n'est pas nul, c'est-à-dire pour toute surface générale, un plan a toujours un pôle, et un seul.

Si ]a surface se réduit à un cône, soient «, p, 7, 5 les coordonnées du sommet de ce cône. En mulUpliant les équations (5) par «, p, 7, 5, et les ajoutant, on trouve

Si le plan ne passe pas par le sommet du cône, le facteur

n'est pas nul, et l'équation précédente donne

Les équations (5) se réduisent à celles qui déterminent le sommet du cône. Donc :

Le pôle de tout plan ne passant pas par le sommet d'un côtic est unique; c'est le sommet du cône.

On a vu, en effet, que ce sommet a «n plan polaire tout à fait indéterminé.

Si, au contraire, le plan passe par le sommet du cône, l'équation (6) est identiquement vériBée; les quatre équations se réduisent, par exemple, aux trois suivantes ;

qui déterminent une droite passant par le sommet du cône, et lieu des pôles du plan. Donc :

Le pôle de tout plan passant par le sommet du cône est indéterminé sur une àtoiie passant par ce sommet.

Supposons maintenant que la surface du second degré se réduise à deux plans distincts, et que le plan dont on cherche le pôle ne contienne pas la droite d'intersection de ces deux plans. Soient «, p, 7, S les coordonnées d'un point de cette droite en dehors du plan dont on cherche le pôle. L'équation (6) nous donne i = o, et les équations (5) se réduisent alors à celles qui déterminent les points doubles. Donc ;

Quand la surface se compose de deux plans, le pôle de tout plan ne passant pas par la ligne double est un quelconque des pointa de cette ligne double.

Si le plan dont on cherche lepôleconlient la ligne double, soient («, p, 7, S), (k', 6', 7', S') les coordonnées de deux points do cetle ligne. On aura, en opérant comme pour trouver l'équation (6), les équations

qui tiennent lieu de deux des équations (5), et qui sont identiquement satisfaites. Les équations (5] se réduisent alors à deux distinctes, par exemple aux suivantes :

qui déterminent un plan. Ainsi, il y a un plan de pôles. Ces conclusions sont d'accord avec celles que nous avons données en étudiant directement le plan polaire.

Enfin, si la surface se composait de deux plans confondus, le pôle de tout plan serait indéterminé dans le plan double, et le pôle du plan double serait indéterminé dans l'espace.

T/iéorèmes sur le plan polaiic. — Quand un point décrit un plan, son plan polaire passe par tout pôle du plan.

Supposons, en elïet, qu'un point M soit dans un .plan P. Soit A le pôle duplanP, les points A, M, d'après la définition du plan polaire, sont conjugués dans la surface, et, par conséquent, le plan polaire do M passe par le point A. c. q. v. d.

Autrement, soit.

i'i'quation d'un plan, et soient s:', y, z\ t' les coordonnées d'un point do

o« plan, on aura

Le plan polaire du point ^' aura peur équation

qu'on peut écrire en tirant t', par exemple, de l'équation du condiUoii

On voit que ce plan passe, quels que soient ^', f. z', par les points dûfinis par les équations

c'est-à-dire par le p6le ou les pôles du plan considéré.

Quand un point décrit une droite fixe, son plan polaire passe par une droite fixe.

Soient, en effet. A, B(.'t,. . ., .'.',- . .) deus points fixes. Un point M de la droite aura pour coordonnées

et son plan polaire aura pour équation

\ { x/; + Y/; + If: + t// ) + k- (x/; -h- y/,: + z/;, h- t/; ) = o.

On voit que ce plan, quand le rapport - prend toutes les valeurs possibles, passe par l'intersection des deux [ilans

Autrement, soient a, b deux points d'une droite û, et A, E leurs plans polaires se coupant suivant une droite A'. Tout point M de A' aura pour conjugués a et 6, et, par suite, tout autre point de la droite ab. On voit donc que les deux droites A, A' sont telles, que le plan polaire d'un point quelconque de l'une passe par l'autre. On les appelle limites polaires l'une de l'autre. Quand une droite passe par un point, sa polaire se déplace dans le plan polaire de ce point. Toute droite qui les rencontre les coupe en deux pointa conjugués dans la surlace.

Il résulte des théorèmes précédents que :

Un plan polaire P d'un point a peut être considéré : i" comme plan de contact du point ii; a" comme lieu du conjugué de a sur toute sécanU;;